Offene Menge

18.03.2010, 16:32

eingast

Offene Menge

Kann mir jemand erklären, warum laut Wikipedia das offene Intervalle $\begin{eqnarray*} (0, 1) \end{eqnarray*}$ eine offene Menge sein soll?. Nun ist doch eine offene Menge $\begin{eqnarray*} A \subset \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ so definiert, dass zu jedem $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ eine Epsilon-Umgebung $\begin{eqnarray*} U_\epsilon(x) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U_\epsilon(x) \subset A \end{eqnarray*}$ existiert. Das ist bei dem offenen Intervall oben doch gegeben? Egal welches Element ich aussuche, zu jedem lässt sich eine Epsilon-Umgebung finden, die wieder Teilmenge der gleichen Menge ist. Und wenn es nur das Element selber ist, dass in seiner eigenen Epsilon-Umgebung liegt.

18.03.2010, 16:35

Airblader

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Irgendwie verstehe ich dich nicht verwirrt

Du kannst nicht nachvollziehen, warum das Intervall offen sein soll, sagst aber selber, die Definition sei erfüllt. Wo ist dann das Problem?

Und kleine Anmerkung: In IR findest du keine Epsilon-Umgebung, in der nur ein Punkt liegt. Sowas ist nicht möglich.
Und noch etwas, das bei dir falsch rüberkommt: Es ist nur eine Teilmenge, wenn alle Elemente auch in der Obermenge liegen; nicht nur eines.

air

18.03.2010, 16:35

kiste

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$\begin{eqnarray*} \epsilon = \min(\frac{x}{2}, \frac{1-x}{2}) \end{eqnarray*}$

18.03.2010, 16:35

Iorek

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Ich seh gerade nicht ganz wo dein Problem ist, (0,1) ist offen, nichts anderes sagst du auch mit deiner Definition. Das ein Intervall eine Teilmenge von |R ist, sollte doch wohl klar sein.

Edit: Wie sie sich draufstürzen... Augenzwinkern

18.03.2010, 16:47

eingast

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Zitat:

Original von Airblader
Irgendwie verstehe ich dich nicht verwirrt

Du kannst nicht nachvollziehen, warum das Intervall offen sein soll, sagst aber selber, die Definition sei erfüllt. Wo ist dann das Problem?

Oh weh. Schlafmangel. Ich sitze hier seit 7 Uhr morgens an Matheaufgaben. Wird wohl Zeit, aufzuhören. Big Laugh

Zitat:

Original von Airblader
Und kleine Anmerkung: In IR findest du keine Epsilon-Umgebung, in der nur ein Punkt liegt. Sowas ist nicht möglich.

Stimmt. So war's eigentlich auch nicht gemeint. Was ich meinte: $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ selbst liegt ja auch immer in seiner eigenen Epsilon-Umgebung $\begin{eqnarray*} U_\epsilon(a) \end{eqnarray*}$ . Mir stellt sich nun die Frage, welche Menge denn nicht offen sein kann, außer der leeren Menge? Schließlich ist jedes Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ eben auch in seiner eigenen Epsilon-Umgebung enthalten.

18.03.2010, 16:56

eingast

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Zitat:

Original von Airblader
Und noch etwas, das bei dir falsch rüberkommt: Es ist nur eine Teilmenge, wenn alle Elemente auch in der Obermenge liegen; nicht nur eines.

Das verstehe ich nicht. Sei $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ . Dann ist doch $\begin{eqnarray*} U_\epsilon(a) := \{x|x \in \mathbb {R}, |x-a| < \epsilon\} \end{eqnarray*}$ . Sei z. B. $\begin{eqnarray*} \epsilon := 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a := 1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist diese Menge: $\begin{eqnarray*} (-1, 3) \end{eqnarray*}$ . Da aber $\begin{eqnarray*} \{2\} \subset (-1, 3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-1, 3) \subset A \end{eqnarray*}$ gelten soll, gilt $\begin{eqnarray*} \{2\} \subset A \end{eqnarray*}$ doch erst recht?

18.03.2010, 17:01

Iorek

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Zitat:

Mir stellt sich nun die Frage, welche Menge denn nicht offen sein kann, außer der leeren Menge?

Jede abgeschlossene Menge ist nicht offen. Augenzwinkern

18.03.2010, 17:04

tmo

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Zitat:

Original von Iorek

Zitat:

Mir stellt sich nun die Frage, welche Menge denn nicht offen sein kann, außer der leeren Menge?

Jede abgeschlossene Menge ist nicht offen. Augenzwinkern

Das stimmt im Allgemeinen nicht Augenzwinkern

18.03.2010, 17:06

eingast

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Zitat:

Original von Iorek

Zitat:

Mir stellt sich nun die Frage, welche Menge denn nicht offen sein kann, außer der leeren Menge?

Jede abgeschlossene Menge ist nicht offen. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} [0, 2\pi] \end{eqnarray*}$ wäre abgeschlossen, da jeder Häufungspunkt dieser Menge auch Element dieser Menge ist. Warum wäre sie aber nicht offen? Es ist doch auch jede Epsilon-Umgebung von jedem Element wieder Teilmenge dieser Menge?

18.03.2010, 17:06

Iorek

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Dann bilde mal eine epsilon-Umgebung für 0, die komplett in dem Intervall enthalten ist.

18.03.2010, 17:10

Airblader

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Ich komme auf ein Missverständnis zurück, das ich ansprach, aber immernoch besteht:

$\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass jedes Element von A auch in B sein muss. Es genügt nicht, dass nur ein Element in B liegt!

air

18.03.2010, 17:10

eingast

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Zitat:

Original von Iorek
Dann bilde mal eine epsilon-Umgebung für 0, die komplett in dem Intervall enthalten ist.

Da sind wir wieder bei meinem Problem aus Post #6.

18.03.2010, 17:12

Iorek

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Zitat:

Original von eingast
Sei $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ . Dann ist doch $\begin{eqnarray*} U_\epsilon(a) := \{x|x \in \mathbb {R}, |x-a| < \epsilon\} \end{eqnarray*}$ . Sei z. B. $\begin{eqnarray*} \epsilon := 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a := 1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist diese Menge: $\begin{eqnarray*} (-1, 3) \end{eqnarray*}$ . Da aber $\begin{eqnarray*} \{2\} \subset (-1, 3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-1, 3) \subset A \end{eqnarray*}$ gelten soll, gilt $\begin{eqnarray*} \{2\} \subset A \end{eqnarray*}$ doch erst recht?

Was ist denn A in deinem Fall?

Ansonsten guck dir nochmal Airbladers Kommentar an, was für eine Teilmenge gelten muss, damit es eine Teilmenge ist.

18.03.2010, 17:14

Airblader

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Schau her:

Es ist zwar $\begin{eqnarray*} a \in U_\varepsilon(a) \end{eqnarray*}$ für jedes a, aber das ist völlig egal. Bei den Epsilonumgebungen geht es zumeist nicht um den Punkt selbst, viel spannender ist eben dessen Umgebung (darum heißt es ja so).

In den reellen Zahlen enthält jede Epsilon-Umgebung nicht nur den Punkt selber, sondern auf jeden Fall auch Zahlen um diese herum.
Das heißt, es existiert eine Zahl $\begin{eqnarray*} y < 0 \end{eqnarray*}$ (wohlgemerkt echt kleiner!), so dass $\begin{eqnarray*} y \in U_\varepsilon(0) \end{eqnarray*}$ ist. Und zwar egal, wie klein du deine Umgebung machst.

Also kann $\begin{eqnarray*} U_\varepsilon(0) \subseteq [0, 2\pi ] \end{eqnarray*}$ nicht wahr sein, denn $\begin{eqnarray*} y \not\in [0,2\pi ] \end{eqnarray*}$ . Und damit kann die Menge nicht offen sein.

Edit: Um auf das Missverständnis noch genauer einzugehen: Zwar ist $\begin{eqnarray*} 0 \in U_\varepsilon(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \in [0,2\pi ] \end{eqnarray*}$ , aber das alleine genügt eben nicht.

air

18.03.2010, 17:26

eingast

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Prima, ich sehe meinen Fehler und gehe jetzt ein Nickerchen machen. Vielen Dank an alle. Big Laugh

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