DGL vom Typ y'(x)=g(x)*h(y)

18.03.2010, 17:10

ElBanditos

DGL vom Typ y'(x)=g(x)*h(y)

Hallo zusammen,

ich habe ein Problem mit folgender DLG, und zwar weiß ich nicht so richtig wie ich mit $\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ umgehen soll. Ich möchte beide Seiten mit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ multiplizieren um den $\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ heraus zu bekommen, bin mir aber nicht sicher, ob man das so wie ich es gemacht habe machen darf.

Was meint ihr zu meiner Darstellung?

$\begin{eqnarray*} xy'= x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{y}*dy = \int \frac{1}{x}*dx \\ \\ ln|y| = ln|x| + C \end{eqnarray*}$

Nun multipliziere ich beide Seiten mit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} y = x*e^C \end{eqnarray*}$

und vereinfache:

$\begin{eqnarray*} y = xC \end{eqnarray*}$

Danke für Eure Antworten!
Wink

18.03.2010, 17:16

Cel

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RE: DGL vom Typ y'(x)=g(x)*h(y)

Zitat:

Original von ElBanditos
$\begin{eqnarray*} xy'= x \end{eqnarray*}$

Geht es wirklich um diese DGL?

18.03.2010, 17:19

ElBanditos

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Nein, tut mir Leid! Mir ist ein Tipfehler unterlaufen Hammer

es geht um diese:

$\begin{eqnarray*} xy'=y \end{eqnarray*}$

18.03.2010, 17:42

Cel

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RE: DGL vom Typ y'(x)=g(x)*h(y)

Zitat:

Original von ElBanditos
$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{y}*dy = \int \frac{1}{x}*dx \\ \\ ln|y| = ln|x| + C \end{eqnarray*}$

Nun multipliziere ich beide Seiten mit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} y = x*e^C \end{eqnarray*}$

und vereinfache:

$\begin{eqnarray*} y = xC \end{eqnarray*}$

Na, ist dann doch so weit alles in Ordnung. Eine Sache: Du multiplizierst nicht mit e, du wendest auf beiden Seiten die Exponentialfunktion an.

18.03.2010, 17:43

wisili

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Das Ergebnis stimmt (für alle reellen C).
Aber der Weg dorthin hat zwei Mängel: y=0 sollte separat geführt werden und
der Betrag |y| kann so y = ± ... weggelassen werden.
e^c ist zwar nur positiv, aber mit ± und dem Fall y=0 verschmilzt es dann am Ende zu C.

18.03.2010, 17:51

ElBanditos

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Danke Mr. Brightside und wisili!

Dir, wisili kann ich leider nicht ganz folgen: Kannst du das vll etwas genauer erläutern, oder handelt es sich bei den 2 Mängeln nur um Kleinigkeiten die eine Bewertung der Aufgabe bzw. des Lösungsweges nicht beeinflussen würden?

18.03.2010, 17:54

wisili

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RE: DGL vom Typ y'(x)=g(x)*h(y)
Du bekommst ja nicht direkt $\begin{eqnarray*} y = x*e^C \end{eqnarray*}$
sondern $\begin{eqnarray*} |y| = |x|*e^C \end{eqnarray*}$ .
Was machst du dann mit den Beträgen?

18.03.2010, 18:05

ElBanditos

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also wäre es besser man schreibt an Stelle von |y| ±y bzw. |x| ±x und nimmt dann jeden Fall extra an?

18.03.2010, 18:08

wisili

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Ja, aber wie erwähnt sind es eigentlich nur 2 Fälle: y = ± x*e^c.
e^c steht für alle positiven Zahlen, -e^c steht für alle negativen Zahlen, und der Sonderfall y = 0
wird mit C=0 miterfasst.

18.03.2010, 18:10

ElBanditos

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ah Ok, dann Danke für den Hinweis!

Wünsche noch einen schönen Tag! Wink

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