lineare gleichungsystem mit 6 variablen

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valdipop75 Auf diesen Beitrag antworten »
lineare gleichungsystem mit 6 variablen
Meine Frage:
ich soll der untenstehende Gleichungsystem lösen:
x1-x2+x3+2x4+x6=1
-2x2+x3+3x4=2
-x2-2x4+x5=-2
x1-x4+x6=-1

Meine Ideen:
nach Gauß verfahren habe ich
1 0 0 -1 0 1 -1
0 0 1 7 -2 0 6
0 -1 0 -2 1 0 -2
0 0 0 -3 0 0 0

Also x4=0
Wie soll ich weiter vorgehen?ich meine wie soll ich die andere Unbekannte umbennen und die Lösung als Vektoren schreiben?Ich danke euch im voraus!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare gleichungsystem mit 6 variablen
Es gibt da unterschiedliche Methoden. Ich bestimme erstmal eine Lösung des homogenen GLS. Dazu muß man rausfinden, welches die frei wählbaren Variablen sind. Etwas leichter tut man sich mit der Beantwortung dieser Frage, wenn man zunächst die nicht frei wählbaren Variablen bestimmt.

Befindet sich die Matrix eines GLS in Zeilenstufenform, dann gilt:

Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen. Alle anderen Variablen sind frei wählbar.

Zur Bestimmung der Basis des Lösungsraums des homogenen GLS setzt man sukzessive eine frei wählbare Variable gleich 1, die restlichen gleich Null. Dann bestimmt man die fehlenden Komponenten. Die sich ergebenden Lösungsvektoren sind automatisch linear unabhängig.

Anschließend muß noch eine spezielle Lösung des inhomogenen GLS bestimmt werden.

Schulmathe?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit,

würde man nur deine Tipps lesen, würde man eher Richtung Hochschulmathematik gehen, es gibt aber auch schon in der Schule unterbestimmte Gleichungssystem Augenzwinkern

Allerdings würde man mMn da nicht über das homogene LGS gehen, einfach ausrechnen und fertig.
valdipop75 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare gleichungsystem mit 6 variablen
du meinst dann dass x1, x2 und x3 nicht freiwählbar sind.wir haben schon x4=0.dann kann ich nur x5 und x6 freiwählen, z.B. x5=s, x6=t.
1)wenn x5=s=1 und x6=t=0:

weiter???
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare gleichungsystem mit 6 variablen
Setze das in die Gleichungen ein, die deiner erhaltenen Matrix entsprechen und löse diese sukzessive auf.

EDIT: man kann natürlich auch x5 = s und x6 = t in das inhomogene GLS einsetzen und sukzessiv auflösen. Dann hat man die Lösung auf einen Schlag, ist aber auch etwas mehr Rechenarbeit.
valdipop75 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare gleichungsystem mit 6 variablen
wie soll ich das schreiben:


x€R^6=(-1,2,6,0,0,0)^T + (0,0,0,0,0,0) + (0,0,0,0,0,0) + r(0,1,-2,0,1,0) + s(-1,0,0,0,0,1).
ist richtig?
 
 
valdipop75 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare gleichungsystem mit 6 variablen
oder kann man die triviale Lösungen(0) weglassen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare gleichungsystem mit 6 variablen
Zitat:
Original von valdipop75
x€R^6=(-1,2,6,0,0,0)^T + (0,0,0,0,0,0) + (0,0,0,0,0,0) + r(0,1,-2,0,1,0) + s(-1,0,0,0,0,1).
ist richtig?

Man sieht leicht, daß (-1,2,6,0,0,0)^T nicht die 1. Gleichung erfüllt.
Desweiteren ist (0,1,-2,0,1,0) keine Lösung des homogenen Systems.

Zitat:
Original von valdipop75
oder kann man die triviale Lösungen(0) weglassen?

Ja.
valdipop75 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare gleichungsystem mit 6 variablen
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von valdipop75
x€R^6=(-1,2,6,0,0,0)^T + (0,0,0,0,0,0) + (0,0,0,0,0,0) + r(0,1,-2,0,1,0) + s(-1,0,0,0,0,1).
ist richtig?

Man sieht leicht, daß (-1,2,6,0,0,0)^T nicht die 1. Gleichung erfüllt.
Desweiteren ist (0,1,-2,0,1,0) keine Lösung des homogenen Systems.

Zitat:
Original von valdipop75
oder kann man die triviale Lösungen(0) weglassen?

Ja.

dass heisst, die einzige Lösung ist (-1,0,0,0,0,1) ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare gleichungsystem mit 6 variablen
Leider verrätst du nicht, was du rechnest. Neben (-1,0,0,0,0,1) ist (1,0,-3,1,2,0) eine weitere Lösung des homogenen Systems. Wie man leicht nachrechnet, löst es:





Es löst aber nicht:




was dem homogenen System von diesem entspricht:

Zitat:
Original von valdipop75
Meine Ideen:
nach Gauß verfahren habe ich
1 0 0 -1 0 1 -1
0 0 1 7 -2 0 6
0 -1 0 -2 1 0 -2
0 0 0 -3 0 0 0

Also mußt du bei der Umformung einen Fehler gemacht haben.
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