Endliche Überdeckung

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Physikstudent Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Überdeckung
Kann mir jemand kurz erklären, was eine endliche Überdeckung ist? Eine offene Überdeckung von habe ich soweit verstanden, nehme ich an. Das wäre einfach die Vereinigungsmenge offener Mengen , die enthält. Beispiel:

Seien folgende offene Intervalle (Mengen) gegeben: . Sei außerdem . Dann wäre und damit wäre offene Überdeckung von . Sehe ich das richtig?

Nur was ist jetzt eine endliche Überdeckung? Es geht vor allem darum, den Satz von Heine-Borel zu verstehen, dass eine Menge genau dann kompakt ist, wenn jede offene Überdeckung dieser Menge eine endliche Überdeckung enthält.
Physikstudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ergänzung: So lautet unsere Definition für offene Überdeckung:

Sei .
Sei weiterhin mit (J Indexmenge). Dann heißt offene Überdeckung von .
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endliche Überdeckung
Zitat:
Original von PhysikstudentDas wäre einfach die Vereinigungsmenge offener Mengen , die enthält.


Mit dem bestimmten Artikel solltest Du vorsichtig sein: Es gibt nicht *die* offene Überdeckung eines Raums, sondern sehr viele.

Zitat:
Original von Physikstudent
Seien folgende offene Intervalle (Mengen) gegeben: . Sei außerdem . Dann wäre und damit wäre offene Überdeckung von . Sehe ich das richtig?


Du meinst wohl , statt . Ja, ist eine offene Überdeckung von , allerdings ist auch bereits eine solche.

Zitat:
Original von Physikstudent
Nur was ist jetzt eine endliche Überdeckung?


Eine Überdeckung einer Menge durch endlich viele Teilmengen.

Zitat:
Original von Physikstudent
Es geht vor allem darum, den Satz von Heine-Borel zu verstehen, dass eine Menge genau dann kompakt ist, wenn jede offene Überdeckung dieser Menge eine endliche Überdeckung enthält.


In allgemeinen topologischen Räumen definiert man Kompaktheit mithilfe dieser Eigenschaft. Vermutlich habt Ihr definiert, dass eine Teilmenge von genau dann kompakt ist, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. Der Satz von Heine-Borel zeigt dann die Äquivalenz beider Definitionen in . Im allgemeinen gilt diese Äquivalenz übrigens nicht.

Was ist Deine Frage zu dem Satz?
Physikstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endliche Überdeckung
Zitat:
Original von zweiundvierzig
Zitat:
Original von PhysikstudentDas wäre einfach die Vereinigungsmenge offener Mengen , die enthält.


Mit dem bestimmten Artikel solltest Du vorsichtig sein: Es gibt nicht *die* offene Überdeckung eines Raums, sondern sehr viele.


Ja, das ist mir soweit klar. Ich habe die falsche Wortwahl benutzt.

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Du meinst wohl , statt . Ja, ist eine offene Überdeckung von


Hoppala. Ja, war gemeint.

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Zitat:
Original von Physikstudent
Nur was ist jetzt eine endliche Überdeckung?


Eine Überdeckung einer Menge durch endlich viele Teilmengen.


Also so wie in meinem Beispiel? wäre ja bereits eine offene Überdeckung von ("überdeckt" durch endlich viele Mengen). Die Benennung ist etwas komisch. Im Buch steht: "offene Überdeckung enthält endliche Überdeckung." Das hört sich so an, als sei eine endliche Überdeckung nochmal Element einer offenen Überdeckung. Ich hätte jetzt gesagt ist offene und endliche Überdeckung von .

Zitat:
Original von zweiundvierzig
In allgemeinen topologischen Räumen definiert man Kompaktheit mithilfe dieser Eigenschaft. Vermutlich habt Ihr definiert, dass eine Teilmenge von genau dann kompakt ist, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. Der Satz von Heine-Borel zeigt dann die Äquivalenz beider Definitionen in . Im allgemeinen gilt diese Äquivalenz übrigens nicht.

Was ist Deine Frage zu dem Satz?


Du hast es erfasst. smile Eine Frage direkt habe ich nicht. Ich möchte ihn nur genau verstehen (u.a. eben, was "jede offene Überdeckung von K enthält endliche Überdeckung" heißt). Und den Beweis nachvollziehen können (der ganz schön komplex erscheint, geht in meinem Buch über ganze 2 Seiten, für einen Physiker etwas abschreckend. Big Laugh ).
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endliche Überdeckung
Die Existenz einer offenen Überdeckung ist nicht das, worauf es bei Kompaktheit ankommt. Schließlich überdeckt sich jeder topologische Raum offen. Ein Teilraum eines topologischen Raums ist kompakt, genau dann, wenn zu jeder beliebigen offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung existiert, d.h. wenn es eine endliche Teilmenge gibt mit .

Ein Gegenbeispiel liefert : Die offene Überdeckung durch für bietet keine endliche Teilüberdeckung. Natürlich kann man aber auch direkt argumentieren, dass nicht abgeschlossen ist.

Zitat:
Original von Physikstudent
Also so wie in meinem Beispiel? wäre ja bereits eine offene Überdeckung von ("überdeckt" durch endlich viele Mengen).


Das stimmt auch, wobei eigentlich nicht eine Überdeckung ist, sondern . Denn Überdeckungen haben wir ja als Mengensysteme definiert. Da dann eine endliche offene Überdeckung ist und jede Menge Teilmenge von sich selbst ist, enthält also eine offene Überdeckung.

Zitat:
Original von Physikstudent Im Buch steht: "offene Überdeckung enthält endliche Überdeckung." Das hört sich so an, als sei eine endliche Überdeckung nochmal Element einer offenen Überdeckung.


Das liegt an der mehrdeutigen Verwendung von "enthalten": je nachdem kann eine Teilmengen- oder Elementbeziehung damit gemeint sein. In dem Falle ist es eine Teilmengenbeziehung zwischen Mengensystemen: Zu jeder offenen Überdeckung sucht man eine Teilmenge , sodass endlich ist.

Zitat:
Original von Physikstudent
Du hast es erfasst. smile Eine Frage direkt habe ich nicht. Ich möchte ihn nur genau verstehen (u.a. eben, was "jede offene Überdeckung von K enthält endliche Überdeckung" heißt). Und den Beweis nachvollziehen können (der ganz schön komplex erscheint, geht in meinem Buch über ganze 2 Seiten, für einen Physiker etwas abschreckend. Big Laugh ).


Da solche Beweise oftmals technisch anmuten, ist es vielleicht eine gute Idee, dir erstmal die groben Schritte zu verdeutlichen und dann im Detail nachzuvollziehen, wie diese jeweils im Detail erreicht werden.
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