submultiplikativität zeigen

19.03.2010, 11:57	mathelisl	Auf diesen Beitrag antworten »
submultiplikativität zeigen hallo! Ich muss zeigen das folgende Norm eine Norm ist die für m=n submultiplikativ ist. $\begin{eqnarray} A\in \mathbb R^(m\times n)-->\|\|A\|\|_{G}=\sqrt[]{mn}\max_{1\leq i\leq m}\max_{1\leq j\leq n}\|a_{i,j}\| \end{eqnarray}$ Definitheit, absolute Homogenität, und Dreiecksungleichung hab ich schon geschafft (warn auch nicht schwer ) aber bei der submultiplikativität bin ich mir nicht wirklich sicher ob ich schon fertig bin oder ob da noch was zu zeigen ist: $\begin{eqnarray} \|\|AB\|\|_{G}=\sqrt[]{mn}\max_{1\leq i\leq m}\max_{1\leq j\leq n}\|(\sum\limits_{k=1}^n a_{i,k}b_{k,j})_{i,j}\| = m * \max_{1\leq i\leq m}\max_{1\leq j\leq n}\|(\sum\limits_{k=1}^n a_{i,k}b_{k,j})_{i,j}\|\leq m \max_{1\leq i\leq m}\max_{1\leq j\leq n}\|a_{i,j}\|\max_{1\leq i\leq m}\max_{1\leq j\leq n}\|b_{i,j}\| \end{eqnarray}$ glit immer $\begin{eqnarray} \max_{1\leq i\leq m}\max_{1\leq j\leq n} \|(\sum\limits_{k=1}^n a_{i,k}b_{k,j})_{i,j}\| \leq \max_{1\leq i\leq m}\max_{1\leq j\leq n} \|a_{i,j}\|\max_{1\leq i\leq m}\max_{1\leq j\leq n}\|b_{i,j}\| \end{eqnarray*}$ ? ich habs schon mit einigen beispielen ausprobiert und es hat gegolten. - aber wie kann ich sicher sein das es kein beispiel gibt bei dem die ungleichung nicht gilt? lg mathlisl
19.03.2010, 17:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegenbeispiel für deine Ungleichung, nicht Gegenbeispiel für die Submultiplikativität: $\begin{eqnarray} A=B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann ist 2>1 also nicht 2<=1*1=1.
19.03.2010, 18:42	mathelisl	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ich seh schon ich hab auf der rechten seite der ungleichung fuer die submultiplikativität ein m vergessen. und somit kann ich quasi fühlen das die ungleichung stimmt...weil m<=mm und ansonsten nur beträge. ... kann mir jemand verraten was für ein hilfsmittel ich brauch? vielleicht chauchy-schwarz?

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