Partielle Integration, Grundsatzfragen

19.03.2010, 13:26

Dalice66

Partielle Integration, Grundsatzfragen

Moin Leute,

ich versuche mich gerade an partieller Integration. Hier die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} F_{2(x)}=\int e^x*\sin(2x) dx \end{eqnarray*}$

lt. Papula:

$\begin{eqnarray*} \int u(x)*v'(x)dx=..... \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich gelesen, dass es sinnvoll ist, den Teil als u zu nehmen, der sich später nach dem ggf. mehrmaligen Differenzieren auflöst oder zu einem normalen Multiplikator wird. Hier ist es aber so, dass sich weder der eine noch der andere Term in "Wohlgefallen" auflöst. Also würde wohl nur Substitution helfen, oder?

Entschuldigt die Frage, ich bin aber erst am Anfang der Integralrechnung und grase zur Zeit das Feld ab...

Wink

19.03.2010, 13:28

gonnabphd

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Manchmal muss man auch einfach mehrmalige partielle Integration durchführen.

Im Speziellen dann, wenn das zweifache Ausführen zu etwas führen könnte, was sehr ähnlich aussieht wie das Ausgangsintegral.

19.03.2010, 13:29

Cel

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Sowohl die e-Funktion als auch der Sinus haben als höhere Ableitungen sich selbst. Hier musst du mehrmals partiell integrieren, bis das Restintegral auf der rechten Seite identisch mit dem auf der linken Seite ist (bis auf Konstanten). Das rechte kannst du dann nach links rechnen und bekommst eine Stammfunktion.

19.03.2010, 14:34

Dalice66

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Hi,

danke für den Hinweis. Ich versuche das mal....

$\begin{eqnarray*} u=e^x, v'=sin(2x) \end{eqnarray*}$

Also, wenn ich das jetzt alles richtig geschnallt habe, müsste das denn folgendermaßen weitergehen:

$\begin{eqnarray*} ...=e^x*(-cos(2x))-\int e^x*(-cos(2x))dx \end{eqnarray*}$

So richtig was zusammenfassen kann man da nicht. Also habe ich weiter integriert:

$\begin{eqnarray*} e^x*(-cos(2x))-e^x*(-sin(2x)) \end{eqnarray*}$

Kann man das denn jetzt zusammenfassen zu

$\begin{eqnarray*} e^x\left[(-cos(2x))+(sin(2x))\right] \end{eqnarray*}$ ???

verwirrt

19.03.2010, 14:50

gonnabphd

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Überleg dir nochmal, wie man sin(2x) integriert...

Und was du genau nachher machst bzw. zusammenfasst, weiss ich leider nicht... Müsstest du wohl mal sauber aufschreiben, damit wir helfen können.

19.03.2010, 14:54

Dalice66

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Mhh,

wie wäre es mit

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sin^2(2x) \end{eqnarray*}$

???

19.03.2010, 15:05

Dalice66

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Nee,

Datt kann nicht sein...

Sinus wird doch zu -cos...Macht man denn noch etwas mit dem Wert in der Klammer? Z.B gesondert intigrieren?

19.03.2010, 15:20

gonnabphd

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Ja,

$\begin{eqnarray*} \int sin(x)dx = -cos(x) \end{eqnarray*}$

Aber hier haben wird doch

$\begin{eqnarray*} \int sin(2x)dx \end{eqnarray*}$

Du kannst ja auch mal -cos(2x) ableiten, dann siehst du dass deine Lösung falsch ist.

19.03.2010, 15:23

Dalice66

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So,

da ich vorher noch nie mit Integraltafeln gearbeitet habe, konnte ich die Lösung auch nicht so richtig erkennen. Das Integral wäre dann:

$\begin{eqnarray*} ...-\frac{cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$

Tut mir leid, das ist hier Neuland...

19.03.2010, 15:30

gonnabphd

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Gut, jetzt haben wir:

$\begin{eqnarray*} \int e^xsin(x)dx=e^x \cdot \frac{-cos(2x)}{2}+\int e^x \cdot \frac{cos(2x)}{2}dx \end{eqnarray*}$

Natürlich stört jetzt das rechte Integral mit dem cos drin... Also nochmal partiell integrieren, und dann erstmal schauen ob was gutes dabei rauskommt. Ich habe ein gutes Gefühl. Augenzwinkern

19.03.2010, 20:31

Dalice66

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So,

ich schreibe den Kram mal hin, vielleich stimmt es ja...

$\begin{eqnarray*} ...e^x*-\frac{cos(2x)}{2} +\int e^x*\frac{cos(2x)}{2} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ...e^x*-\frac{cos(2x)}{2} + e^x*\frac{\sin(2x) }{4} -\int e^x*\frac{\sin(2x) }{4} dx \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich das noch ein wenig zusammenfassen...

$\begin{eqnarray*} =e^{x} \left(\frac{\sin(2x)-2(cos(2x) )}{4} \right) -\int e^x*\frac{\sin(2x) }{4} \end{eqnarray*}$

Jetzt hast du irgendetwas von "[d]as rechte kannst du dann nach links rechnen und bekommst eine Stammfunktion. " geschrieben.

Also gehe ich davon aus, dass ich nun das rechte Integral nach links rüberziehe und noch auf einen Nenner bringen muss.

So ungefähr...

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{4}\int e^x*sin(2x) dx =e^{x} \left(\frac{\sin(2x)-2(cos(2x) }{4} \right) \end{eqnarray*}$

19.03.2010, 20:38

gonnabphd

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Noch beide Seiten mit 4/5 multiplizieren et voilà! smile

Sieht mir ganz korrekt aus.

19.03.2010, 21:02

Dalice66

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Ach ja...

$\begin{eqnarray*} \int e^x*sin(2x) dx =\frac{4}{5}e^{x} \left(\frac{\sin(2x)-2(cos(2x) }{4} \right) \end{eqnarray*}$
Die, 4 könnte man auch noch wegkürzen, dafür bin ich jetzt aber zu faul... Prost

Mal etwas Anderes...

Ich bin jetzt nur durch die Integraltafeln auf

$\begin{eqnarray*} \frac{....(2x)}{2} \end{eqnarray*}$

gekommen. Gibt es irgendeinen Anhaltspunkt oder Ingrationsregeln, wie man ohne darauf kommt? Weil

$\begin{eqnarray*} (ln(x))'=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

das weiß man halt. Ist wohl bei dem Kram genauso, oder? Einfach auswendig lernen...

19.03.2010, 21:18

Mulder

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Zitat:

Original von Dalice66
Ich bin jetzt nur durch die Integraltafeln auf

$\begin{eqnarray*} \frac{....(2x)}{2} \end{eqnarray*}$

gekommen. Gibt es irgendeinen Anhaltspunkt oder Ingrationsregeln, wie man ohne darauf kommt?

Du meinst, wie man eine Stammfunktion von sin(2x) oder cos(2x) finden kann? Naja, eigentlich kann man das sofort sehen. Wenn man sin(2x) ableitet, ergibt sich nach Kettenregel eben cos(2x)*2. Bei der Ableitung von cos(2x) ergibt sich analog -sin(2x)*2. Und wenn beim Ableiten eine 2 dazukommt, muss logischerweis beim Integrieren (1/2) dazu kommen, denn wenn du deine Stammfunktion wieder ableitest, muss ja gerade wieder die ursprüngliche Funktion rauskommen.

Kettenregel beim Ableiten (mit einer inneren linearen Funktion, deren Ableitung eine Konstante ist):

$\begin{eqnarray*} \left ( f(ax+b) \right )' = a \cdot f'(ax+b) \end{eqnarray*}$

Analog beim Integrieren mit einer inneren linearen Funktion:

$\begin{eqnarray*} \int (f(ax+b)) \, \dx = \frac{1}{a}\cdot F(ax+b) + C \end{eqnarray*}$

Ansonsten ergibt sich das auch mit einer einfachen Substitution:

$\begin{eqnarray*} \int \sin(2x) \, \dx \end{eqnarray*}$

Substituiere

$\begin{eqnarray*} 2x = u \quad \Rightarrow \quad 2 \dx = \dd u \quad \Rightarrow \quad \dx = \frac{1}{2} \dd u \end{eqnarray*}$

Oder meintest du etwas anderes?

19.03.2010, 21:35

Dalice66

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Hi Mulder,

das war genau die Antwort, die ich suchte.

Wink

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