Basiswechselsatz Logarithmus, gilt er für beliebige Basen?

19.03.2010, 13:57

Duude

Basiswechselsatz Logarithmus, gilt er für beliebige Basen?

Hallo,
ich habe gerade folgendes zum Basiswechselsatz bei Logarithmen gefunden:

[attach]13936[/attach]

Ich kannte das bisher nur, wenn b=10 war. Weil dann konnte man das in den Tachenrechner eingeben smile

Gilt der Basiswechselsatz also wirklich für jedes beliebige b außer 1?

Ich kann mir das nicht so ganz vorstellen, dass ich in dem Beispiel statt der tiefgestellten 4 auch einfach eine 5 schreiben könnte.

Gruß,
Duude

19.03.2010, 14:01

klarsoweit

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RE: Basiswechselsatz Logarithmus, gilt er für beliebige Basen?

Zitat:

Original von Duude
Gilt der Basiswechselsatz also wirklich für jedes beliebige b außer 1?

Ja.

Zitat:

Original von Duude
Ich kann mir das nicht so ganz vorstellen, dass ich in dem Beispiel statt der tiefgestellten 4 auch einfach eine 5 schreiben könnte.

Ist aber so. Augenzwinkern

19.03.2010, 14:09

lgrizu

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RE: Basiswechselsatz Logarithmus, gilt er für beliebige Basen?

Zitat:

Original von Duude

Gilt der Basiswechselsatz also wirklich für jedes beliebige b außer 1?

Ich kann mir das nicht so ganz vorstellen, dass ich in dem Beispiel statt der tiefgestellten 4 auch einfach eine 5 schreiben könnte.

Gruß,
Duude

kannst du, aber 4^x=16 und 4^x=2 sind einfach zu lösen, durch "hinschauen", 5^x=16 und 5^x=2 sind wesentlich schwerer zu lösen...
der sinn des basiswechsels ist, von einem unbekannten auf einen bekannten logarithmus wechseln zu können.
vielleicht ist das beispiel nen bisschen blöd, da man auch schnell sieht dass 2^x=16 die lösung x=4 hat....

edit: nen bisschen lange gebraucht....

19.03.2010, 15:49

Kääsee

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RE: Basiswechselsatz Logarithmus, gilt er für beliebige Basen?

Zitat:

Original von Duude
Ich kannte das bisher nur, wenn b=10 war. Weil dann konnte man das in den Tachenrechner eingeben smile

Habt ihr dann auch nicht durchgenommen, wie man darauf kommt?

$\begin{eqnarray*} \log_a(c)=x \end{eqnarray*}$

umgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} a^x=c |\lg \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lg(a^x)=\lg(c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\cdot \lg(a)=\lg(c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{\lg(c)}{\lg(a)} \end{eqnarray*}$

und jetzt wieder einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \log_a(c)=\frac{\lg(c)}{\lg(a)} \end{eqnarray*}$

und bei diesem Verfahren könntest du ja anstatt den lg auch einen Logarithmus mit einer beliebigen Basis anwenden, was beweist, dass dieses Gesetz für alle Basen gilt smile

19.03.2010, 16:30

Q-fLaDeN

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RE: Basiswechselsatz Logarithmus, gilt er für beliebige Basen?

Zitat:

Original von Kääsee
umgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} c^x=a |\lg \end{eqnarray*}$

Das kommt davon Augenzwinkern

Richtig müsste es lauten

$\begin{eqnarray*} a^x = c \end{eqnarray*}$

19.03.2010, 16:51

Kääsee

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oh jaa, natürlich Hammer

Ich war sowieso total daneben gerade.... Sieht man vielleicht auch an meinem vielen editieren. Das kann ich ja so nicht stehen lassen, also muss ich dann nochmal editieren.

19.03.2010, 17:31

Duude

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Danke für die vielen Antworten smile

Den Beweis hab ich verstanden und jetzt ist mir auch klar, warum man das mit jedem beliebigen Logarithmus machen kann.

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