erzeugte Untergruppe

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frieda1 Auf diesen Beitrag antworten »
erzeugte Untergruppe
Meine Frage:
Hallo!
Kann mir jemand erklären was eine erzeugte Untergruppe ist? Am besten an einem Beispiel. Ich weiß was eine Untergruppe ist, aber das mit dem Erzeugnis und Erzeugendensystem verstehe ich leider nicht...
Danke!
Viele Grüße,
Frieda

Meine Ideen:
Ich weiß nur das es sich hier um eine bestimmte Teilmenge einer Gruppe handelt.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Der Begrifff "erzeugte Untergruppe" ergibt so erstmal wenig Sinn. Was Du eventuell meinst, ist folgendes: Sei eine Gruppe und eine Teilmenge von . Dann heißt die von in erzeugte Untergruppe. Es ist die kleinste Untergruppe in , die enthält oder äquivalent der Schnitt aller Untergruppen von , die enthalten. Man nennt ein Erzeugendensystem von , wenn bereits gilt.

Ein wichtiges Beispiel sind die zyklischen Gruppen. Das sind Gruppen, die ein einelementiges Erzeugendensystem besitzen. Bis auf Isomorphie sind das die genau additiven Gruppen und die Gruppen für . Im allgemeinen ist ein Erzeugendensystem nicht eindeutig bestimmt. Zum Beispiel ist auch .

Vielleicht hilft Dir noch eine Analogie aus der Linearen Algebra: Zu einer Teilmenge eines Vektorraums gibt es die lineare Hülle, also den kleinsten Unterraum, der diese Menge enthält.
frieda1 Auf diesen Beitrag antworten »
erzeugte Untergruppe
Ja, genau das meinte ich. Danke!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Sei eine Gruppe und eine Teilmenge von . Dann heißt die von in erzeugte Untergruppe.


Vielleicht eine kleine Ergänzung dazu, die aber in der Praxis sehr oft hillfreich ist... Ist die Indikatorfunktion, welche die Werte 1 oder 0 annimmt, je nachdem, ob G unendlich oder endlich ist, dann gilt sogar

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