Diff.gleichung Resonanzfall

19.03.2010, 16:46	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
Diff.gleichung Resonanzfall Hallo folgendes Problem: $\begin{eqnarray} y^{'''}-3y^{''}+3y{'}-y=x+e^x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_{1,2,3}=1 \end{eqnarray}$ homogene Lösung lass ich jetzt erstmal weg: Ansatz für e^x Resonanz d.h. $\begin{eqnarray} yp=\frac{e^x \cdot x^3}{P(\gamma)\cdot 3!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(\gamma )= (1-\lambda_1)\cdot (1-\lambda_2)\cdot (1-\lambda_1)= (1-1)(1-1)(1-1)=0 \end{eqnarray}$ aber durch 0 darf ich ja nicht teilen, was also tun? Geht die Lösung dann einfach nicht? In der Arbeit grad hab ichs dann einfach 1 gesetzt (fragt nicht warum:P), was warsch. wieder totale Grütze ist... :-( lg meli
21.03.2010, 22:10	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
weiß niemand was man bei ner resonanz mit 3facher nullstelle macht?
22.03.2010, 00:59	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo hast du denn diesen komischen Ansatz her? Es schreibt wohl keiner, da es keinen Spaß macht zu helfen wenn du nur sagst "hier formel geht nicht bitte hilfe danke". Ist die Inhomogenität eine Funktion der Form $\begin{eqnarray} f(x)e^{\mu x} \end{eqnarray}$ mit f Polynom vom grad k und $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ eine m-fache Nullstelle, so ist eine inhomogene Lösung von der Form $\begin{eqnarray} g(x)e^{\mu x} \end{eqnarray}$ wobei g ein Polynom vom grad k+m ist. Soviel zur Theorie, in der Praxis hast du jetzt $\begin{eqnarray} \psi _1 (x)=h_1 (x) e^{0x} = (c_1 + c_2 x)e^{0x}<br /> \psi _2 (x) = h_2 (x) e^{x} = (k_1 + k_2 x +k_3 x^2 + k_4 x^3 ) e^x \end{eqnarray}$ in einzeln mit zugehörigen Inhomogenitäten einzusetzen und die Koeffizienten zu bestimmen. Vorher kannst du dir natürlich die Sache einfacher machen, in dem du Vielfache der homogenen Lösungen abziehst, d.h. aus $\begin{eqnarray} L_h=\operatorname{span}(e^x,xe^x,x^2 e^x) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \psi_2 (x)=k x^3 e^x \end{eqnarray}$ durch einsetzen davon in $\begin{eqnarray} y'''-3y''+3y'-y=e^x \end{eqnarray}$ findet sich jetzt der Faktor. Zur Kontrolle: k=1/6 und da $\begin{eqnarray} 3!=6 \end{eqnarray}$ ist deine geratene Lösung richtig...
22.03.2010, 12:35	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Giles, erstmal Danke für deine Hilfe. Leider hat unser Prof. uns einfach nur diesen Ansatz gegeben falls Resonanz auftritt, dachte halt der sei allgemein bekannt. Erklärt hat er auch nicht viel dazu, da wir Diff.gleichungen bzw. alles in Mathe nur sehr sporadisch behandelt haben. lg

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »