Projektive Basis

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Spasmacher Auf diesen Beitrag antworten »
Projektive Basis
Hi,

ich muss nächste Woche einen Vortrag über projektive Basen halten und bisher versteh ich es einfach überhaupt nicht. In meinen Quellen steht überall die Definition dass eine projektive Basis aus n+2 Elementen besteht, nur wieso, wesshalb, warum verwirrt

Ich muss das ja auch irgendwie anschaulich erklären können. Lehrer


Ich hoffe ihr könnt mir helfen !!!



LG
Martin
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektive Basis
http://www.uni-frankfurt.de/fb/fb12/math...e_Geometrie.pdf

Die Anzahl (n+2) wird sich aus dem Zusammenhang ergeben. Ferner ist die Anzahl nicht der wesentliche Bestandteil der Definition, die du unterschlagen hast. Augenzwinkern

tigerbine out.
Spasmacher Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektive Basis
Zitat:
Original von tigerbine
Die Anzahl (n+2) wird sich aus dem Zusammenhang ergeben.


leider noch nicht ganz Ups

Ich versteh noch nicht wieso man den n+2ten Punkt braucht. Also n+1 ja schonmal weil P(V) ne Teilmenge vom V^(n+1) ist. Und wieso dann noch ein Punkt mehr?

Hast du vllt ein Beispiel, oder etwas anschauliches?

Gruß
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektive Basis
Du hast die Art meiner Kritik nicht verstanden. Damit man sich mit dir über ein Objekt unterhalten kann, muss du es definieren. Die Anzahl der Elemente reicht nicht aus, um diese Basis zu etwas besonderem zu machen.

Warum nun n+2, nicht n+1 oder n gewählt wurde, liegt daran, zu was diese Basis in Bezug gestellt wird und die haben vielleicht schon n+1 Vektoren.

Also bitte, nenne den OT der Definition.

Danke. Augenzwinkern
Spasmacher Auf diesen Beitrag antworten »

zum Beispiel die Definition aus dem Link von dir :

Zitat:
Definition 2.8: Sei V ein (n+1)–dimensionaler K–Vektorraum. Dann heißen projektive Punkte p0, . . . , pr Element P(V) projektiv unabhängig, falls eine der drei folgenden (äquivalenten) Bedingungen erfüllt ist:

(a) Es existieren linear unabhängige Vektoren v0, . . . , vr mit pi = K · vi für alle
i Element {0, . . . , r}.
(b) Jedes (r +1)–Tupel (v0, . . . , vr) von Vektoren aus V mit pi = K · vi für alle
i Element {0, . . . , r} ist linear unabhängig.
(c) dim(span(p0, . . . , pr)) = r.

Ein (n + 2)–Tupel projektiver Punkte (p0, . . . , pn+1) aus P(V) heißt projektive Basis, falls je n + 1 dieser Punkte projektiv unabhängig sind. Die kanonische projektive Basis besteht aus den Punkten (1 : 0 : · · · : 0), . . . , (0 : · · · : 0 : 1),
(1 : · · · : 1).

Man beachte, dass man für eine projektive Basis n+2 projektive Punkte benötigt, obwohl der P(V) als Teilmenge eines (n + 1)–dimensionalen Raumes aufgefasst werden kann. Dieser (nicht ausgezeichnete) (n + 2)–te Punkt ist notwendig, um die Gültigkeit der Eigenschaft (2) bei der Abbildung von projektiven Basen auf projektiven Basen mittels einer Projektivität zu garantieren


Also besteht eine projektive Basis aus n+2 Punkte, wobei nur n+1 lin. unabhängig sind?
Und wieso den n+2te Punkt ?
Ist der nicht immer lin. abhängig?

Hoffe, dass es jetzt besser ist Augenzwinkern

LG
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Warum n+2?

Zitat:
Man beachte, dass man für eine projektive Basis n+2 projektive Punkte benötigt, obwohl der P(V) als Teilmenge eines (n + 1)–dimensionalen Raumes aufgefasst werden kann. Dieser (nicht ausgezeichnete) (n + 2)–te Punkt ist notwendig, um die Gültigkeit der Eigenschaft (2) bei der Abbildung von projektiven Basen auf projektiven Basen mittels einer Projektivität zu garantieren
 
 
Spasmacher Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaub so kommen wir nicht weiter Augenzwinkern

Ich verstehs halt einfach nicht verwirrt

Willst du nicht vllt versuchen mir das Thema projektive Basis verständlich zu erklären ? Gott
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Setzte doch mal n=2 und versuche die in dem Skript gegeben Begriffe nachzuvollziehen. Um alles einzeln mit dir durchzugehen, fehlt mir an diesem WoE die Zeit, vielleicht mag das jemand anderes machen.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wir m¨ochten zuletzt das Konzept einer Basis ins Projektive ¨ubertragen. Insbesondere wollen
wir, dass, so wie lineare Abbildungen durch die Bilder (linearer) Basisvektoren eindeutig beschrieben
werden, auch Projektivit¨aten durch die Bilder projektiver Basisvektoren eindeutig beschrieben
werden (vergl. [Fis01, S. 144 ff.]).


Seite 4 des PDF.
Spasmacher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Man beachte, dass man für eine projektive Basis n+2 projektive Punkte benötigt, obwohl der P(V) als Teilmenge eines (n + 1)–dimensionalen Raumes aufgefasst werden kann. Dieser (nicht ausgezeichnete) (n + 2)–te Punkt ist notwendig, um die Gültigkeit der Eigenschaft (2) bei der Abbildung von projektiven Basen auf projektiven Basen mittels einer Projektivität zu garantieren


Kannst du mir das mit dem n+2 ten punkt bitte noch einmal verständlich erklären ?
Spasmacher Auf diesen Beitrag antworten »

bitte versuch es nocheinmal jemand mir zu erklären unglücklich
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Mal ein Beispiel:

Betrachte mal die durch festgelegte Abbildung, die ich nenne.

Dann ist und .

Jedoch gilt ja in einem projektiven Raum , womit aber f schon die Identitätsabbildung wäre. Das heißt so ist f nicht eindeutig festgelegt.

Daher betrachtet man noch und legt damit die Abbildung fest.
Spasmacher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Mal ein Beispiel:

Betrachte mal die durch festgelegte Abbildung, die ich nenne.

Dann ist und .

Jedoch gilt ja in einem projektiven Raum , womit aber f schon die Identitätsabbildung wäre. Das heißt so ist f nicht eindeutig festgelegt.

Daher betrachtet man noch und legt damit die Abbildung fest.


super Danke ... Hab ich verstanden Augenzwinkern

wäre also in dem Fall dim(v) = 2 , dim(P(v)) = 1 ? Also brauchen wir 3 Punkte wegen n=1 ....
Spasmacher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Sei V ein (n+1)–dimensionaler K–Vektorraum. Dann heißen projektive Punkte p0, . . . , pr element P(V ) projektiv unabhängig, falls eine der drei folgenden (äquivalenten) Bedingungen erfüllt ist:
(a) Es existieren linear unabhängige Vektoren v0, . . . , vr mit pi = K · vi für alle i element {0, . . . , r}.
(b) Jedes (r +1)–Tupel (v0, . . . , vr) von Vektoren aus V mit pi = K · vi für alle i element {0, . . . , r} ist linear unabhängig.
(c) dim(span(p0, . . . , pr)) = r.



was ist mit K * vi gemeint? Ist das K ein skalar? Weil es oben halt K-Vektorraum heisst bin ich etwas irritiert
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