Integralberechnung durch Substitution

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Rico7 Auf diesen Beitrag antworten »
Integralberechnung durch Substitution
Hallo miteinander!

Folgende Aufgabe sei gegeben:

[attach]13938[/attach]

Könnte mir jemand helfen, den Anfang zu finden?
Besten Dank und eine gute Nacht!
Urza Auf diesen Beitrag antworten »

Was sind deine Ansätze/Ideen? Speziell:

1. Siehst du, wie man mit Hilfe der angegebenen Substitution das Integral vereinfachen kann, sodass der Hinweis anwendbar ist? (Eigentlich einfach eine sehr direkte Anwendung der Substitutionsregel)
2. Kannst du den Hinweis beweisen? Hast du dazu einen Ansatz? (Falls nicht: Wende Additionstheoreme auf Sin(x+pi/4) an)
Rico7 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, beim Integral hab ich einfach mal umgeformt:



Aber ich denke, die "normale" Vorgehensweise wäre sowieso, zuerst den Hinweis zu beweisen.
Hier bin ich soweit gekommen:


Leider fehlt mir jetzt die nächste Idee, um weiter zu kommen.
Am Schluss sollte ja resultieren.
Für eine / die näschten Ideen / Tipps wäre ich sehr dankbar..
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rico7
Also, beim Integral hab ich einfach mal umgeformt:

geschockt

.

da hast du bereits zwei Böcke geschossen: Freude

1) zur vollständigen Umformung solltest du auch das Differential dx
auf das neue Differential dy "umrechnen"

2) die Grenzen sind dann auch nicht mehr von 0 bis 1 (warum nicht?), sondern ..?

Zitat:
.. sowieso, zuerst den Hinweis zu beweisen.
Hier bin ich soweit gekommen: unglücklich

Am Schluss sollte ja
smile
resultieren.

Tipp: beginne mit dieser Seite der Behauptung
verwende den Vorschlag von Urza (Additionstheorem)

und zeige, dass dann sofort dasteht
(nebenbei: beachte auch den Namen der Variablen ... :winksmile



ach ja: gelegentlich solltest du auch noch nachschlagen,
wie man (1+tan²(y)) noch anders darstellen könnte.)



PS: und warum meldest du dich hier nicht an? geschockt
.
Rico7 Auf diesen Beitrag antworten »

zuerst den Hinweis:



Ich hoffe, das genügt so.
(1+tan²(y)) könnte man auch ausdrücken als (1 / (cos^2 y)) [=sec^2 y]

Das habe ich also für das, was eigentlich zu zeigen ist, eingesetzt. Der Nenner ist dann klar, er wird nach dem aufleiten tan(y) (also das Integral von 1/(cos^2 y)) ist tan(y) )

Oke, das Problem liegt nun jedoch im Zähler.
Für (1+x) habe ich den gesamten Ausdruck eingefüllt, der im Hinweis gegeben ist. Ich kann das zwar aufleiten, aber wenn ich am Schluss ein konkretes Intervall berechnen will (ich habe die Grenzen von 0 bis Pi gesetzt, bin aber nicht ganz sicher, ob das stimmt), so kommt ein Fehler ("undef").

Wo liegt der Fehler, bzw. was sollte ich anders machen?
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rico7
zuerst den Hinweis:



Ich hoffe, das genügt so.

mit diesem (aus meiner Sicht) Schwachsinn kann ich leider nichts anfangen Augenzwinkern

Und der ganze Rest ist bisher unbrauchbar.

schreibe doch erst mal das vollständige Integral auf,
das sich nach der Substitution x=tan(y) ergibt : -> ......



und nebenbei:
auf welche Leitung willst du aufleiten? Gott
 
 
Urza Auf diesen Beitrag antworten »

Rico, du hast anscheinend einige Wissenslücken.

1. Den Hinweis hast du bis jetzt noch nicht bewiesen. Oder jedenfalls sehe ich nicht, warum es klar sein sollte, dass

gilt, was du bei deinem 'Beweis' benutzt.
Um den Hinweis zu beweisen, wende wie schon gesagt das Additionstheorem für den Sinus auf an. Falls du dieses nicht kennst oder nicht weißt, welchen Wert und haben, diese Dinge dürften sich in jeder Formelsammlung finden.

2. Wie schon gesagt wurde, hast du die Substitutionsregel für die Substitution nicht richtig angewendet. Lese sie am Besten nochmal nach. Wenn du Probleme hast, sie zu verstehen, kannst du ja hier nachfragen.
Rico7 Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst einmal zum Hinweis:

Stimmen denn wenigstens diese Umformungen? :S
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rico7
Zuerst einmal zum Hinweis:

Stimmen denn wenigstens diese Umformungen?:S



nein , überhaupt nicht .. das sind grelle Misstöne, und weit weg von Stimmen..

Tipp:
es gibt schöne Formeln, die du eigentlich auswendig wissen könntest,
und halt notfalls nachschlagen (oder herleiten) kannst.
du findest sie zB unter dem Stichwort Additionstheoreme
hier brauchst du davon nur dies:

jetzt gefunden? smile


ach ja :
.. und was hat diese Formel wohl mit zu tun?

.
Rico7 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von corvus

hier brauchst du davon nur dies:

jetzt gefunden? smile

jaaaaa smile
Super, also: (jetzt stimmt's 100% - hab nur am falschen Ort geguckt unglücklich )

Tanzen

Das ist nun aber erst die Vorbereitung auf das eigentlich zu zeigende..
Ihr würdet auch 1+tan(y) gleich durch diese Erkenntnis substituieren, oder würdet ihr (1+y) (bzw. (1+tan(y)) so lassen?
..(1+(tan(y))^2 könnte man auf alle Fälle schon mal anders schreiben (1/(cos^2(y)))
smile
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

du hast begonnen mit der Substitution x=tan(y):

Zitat:
umgeformt:


und offenbar hast du immer noch nicht begriffen, dass auch das "dx" umzurechnen ist (auf "dy" )

wenn du das irgendwann geschafft hast, wirst du
die eben bewiesene Hinweisformel verwenden (im Argument des log..)

und dann erst mal den kompletten neuen Integrand hier aufschreiben:

ok?
Urza Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis des Hinweises stimmt nun. Was die Substitution angeht, es wäre sinnvoll, wenn du nicht immer wieder ignorierst, was dir die Helfer hier anbieten/vorschlagen. Du kennst die Substitutionsregel anscheinend noch nicht oder hast sie noch nicht richtig verstanden. Solange das nicht der Fall ist, wirst du nicht weiterkommen unglücklich
Rico7 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von corvus

und offenbar hast du immer noch nicht begriffen, dass auch das "dx" umzurechnen ist (auf "dy" )


Okey, das habe ich begriffen. Damit ändern sich dann natürlich auch die "Integrals-Grenzen" (Intervall).
Soweit so gut.
Nun hat man also diesen Term im Zähler:

Kann man den mit einer geeigneten Umrechnungsformel vereinfachen, oder wendet man hier die "normalen" Integral-Regeln des Log an?

Besten Dank für die Auskunft!
E-nte Wurzel Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen

Ich hab die selbe Aufgabe und mir wird dies hier langsam zu blöd.

kann mir jemand sagen, ob meine Substitution so stimmt?



Merci und Gruss

E-nte Wurzel
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Der Integrand stimmt, die obere Grenze jedoch nicht: Statt lautet die .

Zitat:
Original von E-nte Wurzel
und mir wird dies hier langsam zu blöd.

Länge und Verzettelung hier im Thread sind wirklich schon ganz stattlich. Augenzwinkern
E-nte Wurzel Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Arthur

Jetzt kann ich weiter machen und bin froh, dass ich es begriffen habe:-) Hab nämlich jetzt lange gewartet, dass hier was sinnvolles herauskommt, so dass ich meine Theorie bestätigen kannAugenzwinkern

Noch einen schönen Sonntag!
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