Partialbruchzerlegung - zu wenig Nullstellen

20.03.2010, 11:40

7ba

Partialbruchzerlegung - zu wenig Nullstellen

Hallo,

in einer größeren Aufgabe muss ich ein Integral lösen - um eine Stammfunktion zu finden, möchte ich diese mit der Partialbruchzerlegung handlicher machen. Wie die Partialbruchzerlegung funktioniert ist mir bekannt, aber nun stehe ich vor dem Problem, dass ich folgende Funktion habe:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x}{(x+1)^3} \end{eqnarray*}$

die Nennernullstelle ist -1 und ist eine dreifache Nullstelle. Wenn ich das ganze Gleichungssystem habe, habe ich demzufolge 3 Unbekannte, kann aber nur x = 0 und x = -1 einsetzen und bekomme es nicht gelöst.
Ich hoffe mir kann jemand weiter helfen.
Grüße
7ba

20.03.2010, 11:46

Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne erhebliche Modifikationen ist die "Einsetzmethode" eben nicht geeignet, sobald eine der Nennernullstellen vom Grad größer als 1 ist - gewöhn dich besser dran.

Eine Alternative ist die Methode über Koeffizientenvergleich - oder man hat gleich ein gutes Auge: $\begin{eqnarray*} \frac{x}{(x+1)^3} = \frac{(x+1)-1}{(x+1)^3} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

20.03.2010, 12:01

7ba

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, deine Variante scheint irgendwie offensichtlich...

Ich hatte ansonsten die Form für r-fache Nullstellen genommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{A_1}{x-x_1} + ... +\frac{A_r}{(x-x_r)^r} \end{eqnarray*}$

Aber da kam ich wie gesagt auf keinen grünen Zweig...

20.03.2010, 12:17

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Selbstverständlich führt diese Methode ebenso (leicht) zum Ziel.
Der Koeffizientenvergleich ergibt sofort:

A = 0
2A + B = 1
A + B + C = 0
-----------------

mY+

20.03.2010, 15:14

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruchzerlegung - zu wenig Nullstellen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int \! f(x) \, dx = \int \! \frac{x}{(x+1)^3} \, dx \end{eqnarray*}$

mit der Substitution u = x + 1

kommst du

.. ohne Partialbruchzerlegung
.. und ohne dass beim Hinsehen gar sowas nötig wird: ->
" man hat gleich ein gutes Auge"

sofort und direkt zu dem einfachen Integrälchen :

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{u-1}{u^3} \, du = \int \! ( \frac{1}{u^2} - \frac{1}{u^3} ) \, du \end{eqnarray*}$

leicht.. oder? smile

20.03.2010, 16:56

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos
Selbstverständlich führt diese Methode ebenso (leicht) zum Ziel.
Der Koeffizientenvergleich ergibt sofort:

A = 0
2A + B = 1
A + B + C = 0
-----------------

mY+

Koeffizientenvergleich ja, aber etwas anders , als du denkst... Augenzwinkern

Aus

$\begin{eqnarray*} \frac x{(x+1)^3} = \frac A{x+1}+\frac B{(x+1)^2}+\frac C{(x+1)^3} \end{eqnarray*}$

gewinnt man für f(x)=x einerseits die Darstellung

$\begin{eqnarray*} f(x) =x= A(x+1)^2+B(x+1)+C \end{eqnarray*}$

andererseits weiss man durch Koeffizientenvergleich mit der Taylorreihe von f(x) für den Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0=-1 \end{eqnarray*}$ , dass

$\begin{eqnarray*} A= \frac{f''(-1)}2 =0, \ B=f'(-1)=1, \ C=f(-1)=-1 \end{eqnarray*}$

sein muss... *Vor Arthur in Deckung geh*

Neue Frage »

Antworten »

Partialbruchzerlegung - zu wenig Nullstellen

Verwandte Themen