Funktion in Parametergleichung differenzieren

20.03.2010, 14:07

mandelbrot0815

Funktion in Parametergleichung differenzieren

Meine Frage:
Hallo,
es geht darum, die Geschwindigkeit eines Teilchens zu berechnen, das sich auf einer Kurve bewegt.
Die Parametergleichung der Kurve:

$\begin{eqnarray*} f(t) = \begin{pmatrix} e^{-t} \\ 2*cos(3t) \\ 2*sin(3t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zusätzlich sind die Beschleunigung, sowie Geschwindigkeit für t=0 gefragt.

Meine Ideen:
In Weg-Zeit-Diagrammen differenziert man ja normalerweiße die Funktion um die Geschwindigkeit zu erhalten. Wie mache ich das aber bei einer Parametergleichung? Und wie erhalte ich die Beschleunigung?

20.03.2010, 14:36

Lampe16

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RE: Funktion in Parametergleichung differenzieren

Zitat:

Meine Ideen:
In Weg-Zeit-Diagrammen differenziert man ja normalerweise die Funktion, um die Geschwindigkeit zu erhalten.

Genau so geht es auch bei Raumkurven in Parameterform: Differenziere koordinatenweise. Die x-Koordinate der Geschwindigkeit ist gleich der Ableitung der Orts-x-Koordinate. Die x-Koo. der Beschleunigung ist gleich der Ableitung der x-Koo. der Geschwindigkeit. Entsprechend bei den anderen beiden Koordinaten.

Am Ende hast Du dann den Geschwindigkeits- und den Beschleiunigungs-Vektor vor Dir.
Gruß, lampe16

20.03.2010, 16:20

mandelbrot0815

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Ok, herzlichen Dank für deine Antwort. Das bedeutet...

f'(t) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -e^{-t} \\ -6*sin(3*t) \\ 6*cos(3*t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für die Geschwindigkeit und...

f''(t) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e^{-t} \\ -18*cos(3*t) \\ -18*sin(3*t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für die Beschleunigung!?

Die Geschwindigkeit an t=0 wäre dann

f(0) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit müsste der Betrag des Vektors....

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1^2+(-6)^2} = \sqrt{37} \end{eqnarray*}$

... die Geschwindigkeit an t=0 sein, oder?

20.03.2010, 19:32

Lampe16

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Die z-Koordinate der Geschwindigkeit musst Du noch umpolen.
Gruß, lampe16

p.s.
Du schreibst schöne LaTeX-Formeln. Versuchs doch auch mal mit $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ für Vektoren.

20.03.2010, 20:11

mandelbrot0815

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Ok, ich denke ich hab das Beispiel verstanden smile

Danke dir!

Jetzt fehlt noch Teil 2 der Aufgabe der sich noch schwieriger anhört:

Es ist wieder eine Kurve R gegeben: $\begin{eqnarray*} R=\begin{pmatrix} 3*cos(t) \\ 3*sin(t) \\ 4*t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diesmal wird die Einheitstangente T gesucht die (laut Angabe) so definiert ist (normiert auf die Bogenlänge s):

$\begin{eqnarray*} T=\frac{dR}{ds} = \frac{dR/dt}{ds/dt} = \frac{dR/dt}{||dR/dt||} \end{eqnarray*}$

Uff...

Wenn man diese mathematische Definition lesen könnte wärs vielleicht machbar, traurig

Eine Differentitation ist ja eigentlich mit $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \end{eqnarray*}$ angegeben, aber was sagt mir jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{dR/dt}{||dR/dt||} \end{eqnarray*}$ ??

verwirrt

21.03.2010, 08:35

Bullet1000

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Na ja, eigentlcih nicht weiter schwierig.

Überleg dir mal, wie man einen Vektor normiert.

In diesem Falle funktioniert das ebenso.
Leite deinen Vektor $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ einmal nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ab und dann dividiere diesen nochmal zusätzlich durch die normierte Ableiung.
Ich gehe hier mal von der euklidischen Norm aus.
Also einfach alle Koordinaten quadrieren und dann Wurzel drüber.

21.03.2010, 12:08

mandelbrot0815

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Ok, also wäre das...

$\begin{eqnarray*} R'=\begin{pmatrix} -3*sin(t) \\ 3*cos(t) \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und der Betrag...

$\begin{eqnarray*} |R| = \sqrt{(-3*sin(t))^2+(3*cos(x))^2+16} \end{eqnarray*}$

wodurch man....

$\begin{eqnarray*} T = \frac{\begin{pmatrix} -3*sin(t) \\ 3*cos(t) \\ 4 \end{pmatrix}}{\sqrt{(-3*sin(t))^2+(3*cos(x))^2+16} } \end{eqnarray*}$

... erhalten würde...hm... und nun?

21.03.2010, 15:57

Bullet1000

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Schau dir mal den Nenner etwas genauer an.

Tipp: $\begin{eqnarray*} sin^2(x)+cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$

21.03.2010, 16:34

mandelbrot0815

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Ahhh... danke für den Hinweis:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{9+16} = 5 \end{eqnarray*}$

Dann wäre T wohl...

$\begin{eqnarray*} T = \begin{pmatrix} -0.6*sin(t) \\ 0.6*cos(t) \\ 0.8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Richtig?

21.03.2010, 16:46

Bullet1000

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so ist es

21.03.2010, 17:10

mandelbrot0815

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Cool, dann danke ich recht herzlich, war eigentlich gar nicht so schwer
Freude

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