Abkürzung für's Integrieren?

20.03.2010, 14:36

SandraHuhn

Abkürzung für's Integrieren?

Meine Frage:
Hallo liebe Leute!
Ich bin grad dabei mich mal wieder in die Integrale einzuarbeiten.
Die Aufgabe: (entschuldigt bitte wenn ich hierbei kein Latex verwende)

Berechnen Sie folgendes unbestimmtes Integral:

S x Wurzel(2x^2 + 1) dx

Nun haben wir gerechnet und gerechnet und gerechnet, locker 2 Seiten vollgeschrieben, sämtliche Formeln angewendet. Ich denke wir haben die Lösung zwar richtig, aber wir haben eine halbe Ewigkeit dafür gebraucht!
Wenn ich dran denke, dass es in der Klausur nur der 1. Teil sein wird, die Stammfunktion aufzustellen, kommt mir schon das große Grauen!
Deshalb meine Frage: Gibt es nicht eine Möglichkeit, das Ganze viel schneller auszurechnen?
Bitte schreibt mir, ich wäre euch sehr dankbar!

Viele liebe Grüße Sandra

Meine Ideen:
-partielle Integration
und dann wieder partielle Integration, dann Substituiert und wieder Substituiert und am Ende dann 2 Mal Resubstituiert, und finally alles wieder zusammengebaut zu meiner "Final Lösung"!

20.03.2010, 14:55

lgrizu

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RE: Abkürzung für's Integrieren?
du brauchst nur einmal substituieren, setze $\begin{eqnarray*} \sqrt{2x^2+2}=u \end{eqnarray*}$
dann ist $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{\frac{u^2-2}{2}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dx=\frac{1}{2} (\frac{u^2-2}{2})^{-\frac{1}{2}}du \end{eqnarray*}$
nun setz den ganzen kram ein und du erhälst $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{2} u^2 \, du \end{eqnarray*}$ und das ist einfach zu bestimmen...

und achte auf die neuen integrationsgrenzen.....

20.03.2010, 16:03

Mulder

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RE: Abkürzung für's Integrieren?
Also was Igrizu da nun macht, durchblicke ich nicht. Mit der Substitution

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x^2+2}=u \end{eqnarray*}$

ergibt sich bei mir was völlig anderes. Das scheint mir auch nicht zielführend zu sein. Du hast da doch auch die innere Ableitung 4x völlig unterschlagen. Oder wo ist die geblieben?

$\begin{eqnarray*} \frac{4x}{2 \sqrt{2x^2+2}} \, \dx = \dd u \end{eqnarray*}$

Kann so also nicht hinkommen. Außerdem steht in der Wurzel nicht +2, sondern +1. Oder sehe da jetzt irgendetwas in deiner Rechnung nicht?

@SandraHuhn: So eine Aufgabe in einer Klausur wäre schon ziemlich fies. Das ist hier eben mit einer längeren Rechnung verbunden. Ich glaube nicht, dass man das umgehen kann. Mein Vorschlag (vielleicht habt ihr das ja auch so gemacht):

$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{2x^2+1} \, \dx = \int \sqrt{\left (\sqrt{2}\, x \right )^2+1} \, \, \dx \end{eqnarray*}$

Und nun

$\begin{eqnarray*} x = \frac{\sinh(u)}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

substituieren. Das entstehende Integral kann man zum Beispiel partiell lösen. Danach rücksubstituieren und gegebenenfalls noch mit Additionstheoremen rumspielen, um den Kram zu vereinfachen. Aber das ist eben eine etwas längere Rechnung...

Sofern ich da nun auch keinen Fehler - insbesondere in Hinsicht auf die Korrektur an Igrizu - drin habe. Ansonsten bitte ich um Korrektur. smile

Edit: Aaah, das x vor der Wurzel habe ich komplett überlesen, danke corvus.

Aber wenn das wirklich das Integral sein soll, dann verstehe ich nicht, wie man da mehrere Seiten dran rumrechnen kann... verwirrt

20.03.2010, 16:15

corvus

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RE: Abkürzung für's Integrieren?

Zitat:

Berechnen Sie folgendes unbestimmtes Integral:

S x Wurzel(2x^2 + 1) dx verwirrt

möglicherweis soll das ja so heissen:

$\begin{eqnarray*} \int x \cdot \sqrt{2x^2+1} \, \dx \end{eqnarray*}$

dann erübrigt sich eure Aufregung, da die schlichte
Substitution u= 2x² +1 sofort zu einem ganz friedlichen
Integral führt ..

schaun mer mal... smile

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