Treppenfunktionen

20.03.2010, 15:30	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Treppenfunktionen Und zwar: Sei Q ein abgeschlossenes n-dimensionales Intervall im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} \Phi: U \to Q \end{eqnarray}$ ein Diffeomorphismus. Dann gilt im Allgemeinen nicht, dass $\begin{eqnarray} 1_Q \circ \Phi \end{eqnarray}$ eine Treppenfunktion im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ ist. Ich glaube ja, dass es so ist. Aber fällt zufällig jemandem ein konkretes Beispiel für einen Diffeomorphismus ein, der so etwas bewerkstelligt? (Hierbei ist $\begin{eqnarray} 1_Q = \left\{ \begin{split} 1 \qquad & x \in Q \\ 0 \qquad & x \notin Q \end{split} \right. \end{eqnarray}$ die Indikatorfunktion. Treppenfunktionen im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ haben wir als $\begin{eqnarray} T(\mathbb{R}^n) := lin (c_j \cdot 1_{[a^j,b^j]}; a^j,b^j \in \mathbb{R}^n, a^j \leq b^j, c_j \in \mathbb{R}) \end{eqnarray}$ definiert.)
21.03.2010, 00:37	Urza	Auf diesen Beitrag antworten »
Welcher Diffeomorphismus-Begriff ist gemeint? Ich kenne das nur für Abbildungen zwischen offenen Teilmengen des IR^n oder differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Oder ist jetzt $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ als berandete Mannigfaltigkeit gemeint? Und was ist $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ?
21.03.2010, 10:28	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, eigentlich zwischen offenen Teilmengen des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ . Insofern müsste man wohl einen Diffeomorphismus $\begin{eqnarray} \Phi: U \to V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} U, V \subseteq \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ offen, $\begin{eqnarray} Q \subset V \end{eqnarray}$ betrachten, oder? Aber auch wenn ich offene Mengen betrachte, fällt mir immernoch kein Diffeomorphismus ein, der dazu führt, dass die Komposition keine Treppenfunktion mehr ist...
21.03.2010, 11:58	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Treppenfunktionen sind definiert auf Quadern, also in $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ wären das Rechtecke. Nun ein solches Rechteck kann man aber zb. zu einer Art "Banane" differenzierbar verformen. Diese ist nicht mehr Quaderförmig. Also ist die Komposition keine Treppenfunktion mehr.
21.03.2010, 13:08	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke. Mir würde zwar wiederum auch kein konkreter Diffeomorphismus einfallen, der ein Rechteck zu einer Banane umwandelt, aber ich glaube dir einfach mal, dass es geht

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