Stochastik Kugeln

20.03.2010, 17:04

Rolloball

Stochastik Kugeln

Meine Frage:
In einer Urne befinden sich 100 Kugeln. 4 Rot, 6 Blau, 90 Grün. Nun werden 90 Kugeln gezogen und weggeworfen, es verbleiben 10 Kugeln. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass noch von jeder Farbe min. 1 Kugel unter den 10 ist?

Meine Ideen:
Habe leider keine Ahnung, wie ich anfangen soll. Wir haben schon etliche Aufgaben gerechnet und eigentlich finde ich die nicht mehr so schwer, aber irgendwie kann ich diese Aufgabe auf kein mir bekanntes System übertragen. Hat jemand einen Denkanstoß für mich?

Herzlichen Dank

20.03.2010, 17:49

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Zunächst mal ist es für die Wahrscheinlichkeitsbetrachtung völlig egal, ob man 90 Kugeln zieht und die restlichen 10 betrachtet, oder gleich 10 Kugeln zieht und diese betrachtet - hilft das schon mal weiter?

Falls nicht: Betrachte die Ereignisse:

$\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ ... unter den 10 Kugeln sind keine roten Kugeln

$\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ ... unter den 10 Kugeln sind keine blauen Kugeln

$\begin{eqnarray*} A_3 \end{eqnarray*}$ ... unter den 10 Kugeln sind keine grünen Kugeln

Gesucht ist dann $\begin{eqnarray*} P((A_1 \cup A_2 \cup A_3)^c) \end{eqnarray*}$ , berechenbar mit Siebformel.

21.03.2010, 13:25

Rolloball

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Danke für die Info, den Ansatz verstehe ich sogar... nur, diese Siebformel hatten wir noch nicht und ich glaube kaum, dass der Lehrer uns etwas gibt, was wir dann erstmal selber recherchieren sollten, war auch ne Probe-Ex. Von daher, gibt es noch einen anderen Ansatz?

Schönen Tag.

21.03.2010, 13:31

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Naja, im Fall dreier Ereignisse ist die Siebformel ja gar nicht so schlimm - vielleicht kennst du sie nur nicht unter diesem Namen:

$\begin{eqnarray*} P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) - P(A_1 \cap A_2) - P(A_1 \cap A_3) - P(A_2 \cap A_3) + P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) \end{eqnarray*}$ .

21.03.2010, 14:09

wisili

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Zitat:

Original von Rolloball
... Von daher, gibt es noch einen anderen Ansatz? ...

Ja, man kann günstige und mögliche Kombinationen von 10 aus 100 berechnen.
(Dass das mit (verallgemeinerter) hypergeometrischer Verteilung zu tun hat, ist nicht so wichtig, aber nützlich, wenn man es kennt.)

21.03.2010, 14:51

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Zitat:

Original von wisili

Zitat:

Original von Rolloball
... Von daher, gibt es noch einen anderen Ansatz? ...

Ja, man kann günstige und mögliche Kombinationen von 10 aus 100 berechnen.

Nicht wirklich anders, sondern in dieser Formulierung nur verallgemeinert. Es gilt unter all den möglichen Anzahlberechnungen eine nicht allzu aufwändige zu finden.

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