Volumenintegral und Volumenintegral mit Funktion? |
| 20.03.2010, 18:25 | frank1987 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Volumenintegral und Volumenintegral mit Funktion? Mir ist nicht ganz klar, worin der Unterscheid zwischen folgenden Integralen besteht: und Letzteres berechnet ja den Volumeninhalt eines Körpers der durch die Integrationsgrenzen definiert ist. Beispiel: Ich stelle mir da ein "Stäbchen" mit variabler Höhe vor (z.B. ), dass ich in y-Richtung bis zur Grenze "schiebe". Das ergibt dann eine Fläche, die ich dann bis zur x-Grenze "schieben" kann: Und dann hab ich ein schönes Volumen. Was aber bedeutet z.B. für Durch V habe ich doch bereits ein Volumen fest definiert. Was kommt dann dabei heraus, wenn ich die Funktion innerhalb dieses Volumens integriere? |
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| 21.03.2010, 00:20 | JUPITER | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo. Wenn man eine Funktion (die nicht konstant gleich 1 ist) über ein Menge M integriert, dann berechnet man nicht etwa den Flächeninhalt bzw. das Volumen von M, sondern man berechnet das Volumen, das gewissermaßen zwischen der Menge M und der Funktion liegt. Das ist letztlich wie im Eindimensionalen, da ist das Volumen, über das integriert wird, z. B. die Menge der reellen Zahlen oder es ist ein Intervall, z. B. [0, 10] oder eine Vereinigung von Intervallen. Im mehrdimensionalen können die Mengen, über die integriert wird, komplizierter aussehen (Stichwort: Ringe / Sigma-Algebren). Stelle dir mal einen Zylinder vor. Du kannst das 3-dim-Lebesgue-Integral eines Zylinders ausrechnen, indem du dich des Cavalierischen Prinzips bedienst und die Grundfläche der Basis (welche hier ein Kreis ist) einfach mit der Höhe multiplizierst - auch hier wird eine Funktion über eine Grundmenge (nämlich den Kreis) integriert. Eigentlich muss man sich - und kann man sich - gar nicht anschaulich vorstellen, was es heisst, eine Funktion wie z. B. f(x)=x^3*sin(x) oder auch die von dir angegebene Funktion über einen Viertelkreisring oder meinetwegen eine Halbkugel oder eine andere Menge zu integrieren. Hauptsache, man kann wichtige Sätze, wie z. B. den Satz von Fubini-Tonelli oder den Transformationssatz anwenden, um die jeweiligen Integrale zu lösen. Eine anschauliche Vorstellung solcher Integrale ist im Grunde genommen nicht gefragt. |
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| 21.03.2010, 15:40 | frank1987 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay, dass kann ich so zur Kenntnis nehmen aber ärgern tut's mich trotzdem ein wenig. Ich kann mir Sachen einfach viel besser merken wenn ich mir geometrisch vorstellen kann, was ich eigentlich gerade tue. Eine andere Idee vielleicht die wir beim Mathelernen diskutiert haben: Mann könnte sich das ausgerechnete Integral als Masse vorstellen. Integriere ich also 1 über ein Volumen, erhalte ich eine bestimmte genormte Masse des Körpers. In etwa so, wie wenn ich weiß, dass ein Körper eine Dichte von hat und ich sofort aus seiner Gesamtmasse (also das berechnete Integral) auf sein Volumen schließen kann. In dem speziellen Fall der Dichte 1 sind dann Masse und Volumen eines Körpers gleich (natürlich nur in der Mathematik, da keine Einheiten). Integriere ich aber eine Funktion über ein Volumen, dann erhalte ich ein Ergebnis, was der "mathematischen Masse" des Volumens, worüber ich integriert habe entspricht wobei sich aber (je nach Funktion) "mathematische Masse" und Volument stark unterscheiden können. Sorry wenn es ein wenig verwirrend klingt, aber wir fanden das alle eine ziemlich tolle Methode sich das vorzustellen. Und nun warte ich auf Widerspruch damit wir uns weiter den Kopf zerbrechen können 
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