Rieszscher Darstellungssatz und Dirac Distribution

20.03.2010, 19:47

Sandmann

Rieszscher Darstellungssatz und Dirac Distribution

Hallo,

ich habe hier folgende Formulierung des Rieszschen Darstellungssatzes:
Sei $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ein Hilbertraum. Für jedes $\begin{eqnarray*} f \in H' \end{eqnarray*}$ , existiert ein $\begin{eqnarray*} w \in H \end{eqnarray*}$ , sodass
$\begin{eqnarray*} <w,v>=f(v) \ \ \ \ \ \ \forall v \in H \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H' \end{eqnarray*}$ ist der Dualraum von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ , also die Menge aller stetigen linearen Funktionale auf $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ .

Ich habe folgende Fragen zum $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ , der ja ein Hilbertraum ist.
1. Ist das Funktional $\begin{eqnarray*} f(v) = v(0) \end{eqnarray*}$ ein stetiges, lineares Funktional? (Ich denke schon)
2. Wenn ja, dann ist ja das entsprechende $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ das Dirac delta. Das Dirac delta ist doch aber nicht in $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ , oder?

21.03.2010, 13:23

Orakel

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RE: Rieszscher Darstellungssatz und Dirac Distribution
das funktional $\begin{eqnarray*} f(v)=v(0),\ v\in L_2 \end{eqnarray*}$ ist kein lineares stetiges funktional auf $\begin{eqnarray*} L_2 \end{eqnarray*}$ .

betrachte zum beispiel die funktion v(x)=0 für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(0)=\infty \end{eqnarray*}$ . dann gilt $\begin{eqnarray*} v\in L_2(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \infty=|v(0)|=|f(v)|\not\leq C |v|_{L_2(\mathbb{R})}=0 \end{eqnarray*}$ .

22.03.2010, 01:13

Sandmann

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Liebes Orakel,
vielen Dank für deine Antwort. Jetzt habe ich das denke ich verstanden Freude

22.03.2010, 15:08

WebFritzi

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RE: Rieszscher Darstellungssatz und Dirac Distribution

Zitat:

Original von Orakel
das funktional $\begin{eqnarray*} f(v)=v(0),\ v\in L_2 \end{eqnarray*}$ ist kein lineares stetiges funktional auf $\begin{eqnarray*} L_2 \end{eqnarray*}$ .

Man kann diese Aussage nicht treffen. Und zwar, weil das fragliche Funktional überhaupt nicht definiert ist. Augenzwinkern

Man kann L²-Elemente nicht auswerten, da es Äquivalenzklassen sind.

@Sandmann: Das Funktional, welches du betrachten willst, kann z.B. auf $\begin{eqnarray*} C_0^\infty \end{eqnarray*}$ definiert werden. Versieht man diesen Raum mit der üblichen (lokalkonvexen) Topologie, dann ist das Funktional stetig. Man nennt solche Funktionale dann auch Distributionen, und dein betrachtetes Funktional ist ein ganz bestimmtest - nämlich die sogenannte Delta-Distribution. Kann es vielleicht sein, dass du den falschen Rieszschen Darstellungssatz gegooglet hast? Augenzwinkern

Es gibt nämlich noch einen anderen: Riezscher Darstellungssatz.

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