Polynome

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Glurak Auf diesen Beitrag antworten »
Polynome
Guten Abend allerseits!

Sei .
Man hat nun die Abbildung T: V-->V mit
für alle x aus IR und p aus V.

Zu zeigen ist nun, dass T eine lineare Abbildung ist.
Zudem ist eine Jordanbasis für T anzugeben.

Also:
Die Abbildung T bildet ein Element des Vektorraums V auf ein anderes Element des Vektorraums V ab. Ein Polynom p wird also auf ein Polynom T(p) abgebildet. Das Polynom T(p) ist wohldefiniert durch: (T(p))(x) = p(x) - (x-1)p'(x) oder kürzer: (Tp)(x) = p(x) - (x-1)p'(x)

Um zu zeigen, dass T linear ist, muss ja gelten:
1.) f (v1 + v2) = f (v1) + f (v2) (v1, v2 aus V)
2.) f (a*v) = a*f (v) (für v aus V und a aus IR)

Wie sieht das zu zeigende nun aber konkret auf diese Aufgabe angewendet aus?
Und wie sähe eine Vorgehensweise aus, um eine Jordanbasis zu bestimmen?

Besten Dank und einen schöönen Abend! smile
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome
Hallo Glumanda ( Augenzwinkern ),

Zitat:
Original von Glurak
Um zu zeigen, dass T linear ist, muss ja gelten:
1.) f (v1 + v2) = f (v1) + f (v2) (v1, v2 aus V)
2.) f (a*v) = a*f (v) (für v aus V und a aus IR)


nein, das ist Linearität für f, nicht für T. Ein f haben wir aber ohnehin nicht.
v1 und v2 sind hier Polynome. Bilde doch nun einfach mal (T(v1 + v2))(x) und (T(v1)+T(v2))(x) und schaue, ob du diese in etwas Umformen kannst, so dass beide Ausdrücke gleich sind.

Beachte dabei, dass (v1+v2)(x) = v1(x)+v2(x) ist, denn Polynome werden punktweise addiert. Diese Linearität darfst du also natürlich verwenden.

air
Glurak Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome
Ciaoo air

Okey, ich habe mich mal versucht:

(T(v1+v2)(x)) = T((v1(x+1) - v1'(x)) + (v2(x+1) - v2'(x))) = T(v1)(x) + T(v2)(x) = (T(v1) + T(v2))(x)

Beim mittleren (zweiten) Schritt bin ich mir nicht ganz sicher. Deshalb bitte ich um Überprüfung smile
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Puh .. schwer zu lesen. Ich denke, du schießt etwas schnell.

v1+v2 ist ein Polynom, nennen wir es mal q := v1+v2. Also ist q(x) = (v1+v2)(x) = v1(x) + v2(x).

Dann ist (T(v1+v2))(x) = (T(q))(x) = q(x+1) - q'(x) = (v1+v2)(x+1) - (v1+v2)'(x) = v1(x+1) + v2(x+1) - v1'(x) - v2'(x) = v1(x+1) - v1'(x) + v2(x+1) - v2'(x) = (T(v1))(x) + (T(v2))(x).

Das war nun der komplette Schritt. Vielleicht schaust du es mal durch und denkst darüber nach. Der Weg über q=v1+v2 ist für meinen Geschmack sehr schön, weil man genau zeigt, wie man die Definition von T anwendet und es dann wieder zerlegt.
Übrigens verwendet man hier auch die Summenregel der Ableitung, nämlich für (v1+v2)' = v1' + v2'.

Versuche jetzt mal genau das selbe für die zweite Eigenschaft der Linearität. Schnapp' dir dafür auch ein geeignetes Polynom q.

air
Glurak Auf diesen Beitrag antworten »

Wow.
Das ist wirklich sehr schön zu lesen und vor allem vollständig!
Herzlichen Dank für dieses Paradebeispiel!

Ich hoffe, ich kann dieser Qualität nun ein wenig anknüpfen:

zu zeigen:
T(a*v)(x) = a*T(v)(x)

Sei p:= (a*v)(x)
Dann ist:
T(a*v)(x) = T(p)(x) = p(x+1) - p'(x) = (a*v)(x+1) - (a*v)'(x) = a*(x+1)*v - a(x) = a*(v(x+1) - 1(x)) = a*T(v)(x)

smile
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Glurak
Sei p:= (a*v)(x)


Das ist unsauber. Entweder p := T(a*v) oder p(x) := (T(a*v))(x).

Zitat:
Dann ist:
T(a*v)(x) = T(p)(x) = p(x+1) - p'(x) = (a*v)(x+1) - (a*v)'(x)


Soweit ist es okay.
Aber was nun kommt ist wirklich mehr als nur falsch. Augenzwinkern

Zitat:
= a*(x+1)*v - a(x)


Wie kommt denn das zustande? Wie wird da plötzlich ein Produkt aus einem Polynom und (x+1) daraus?
Im Übrigen korrigierst du den Fehler durch einen zweiten Fehler:

Zitat:
= a*(v(x+1) - 1(x)) = a*T(v)(x)


Demnach wäre also (T(v))(x) = v(x+1) - 1(x). Mal abgesehen davon, was du mit 1(x) meinst ("Eins von x"), entspricht das keineswegs der Definition von T.
Im Übrigen: v(x+1) ist nicht v*(x+1), sondern "v von (x+1)". v ist eine Funktion!

Also zurück zu

Zitat:
Dann ist:
T(a*v)(x) = T(p)(x) = p(x+1) - p'(x) = (a*v)(x+1) - (a*v)'(x)


Für den ersten Summanden musst du nun wieder ausnutzen, dass Polynome punktweise mit einem Skalar multipliziert werden. Und für den zweiten Summanden nutzst du die Faktorregel der Ableitung.
Eigentlich ganz analog zur ersten nachzuweisenden Eigenschaft, nun eben nur für die Multiplikation statt der Addition. Augenzwinkern

air
 
 
Glutexo Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen!

Hui ja, du hast Recht!
Also, hier ein zweiter Versuch.
Ich muss vorausschicken, dass ich mir bei der Ableitung nicht ganz sicher war, wie ich das "darstellen" soll. Ich habe nun den Faktor "k" (eine reelle Zahl) vor die Ableitung gestellt, da man ja nicht davon ausgehen kann (darf), dass die Ableitung den Faktor k=1 liefert, sodass man diesen weglassen könnte..

Sei p(x):= (T(a*v))(x).

Dann ist:
T(a*v)(x) = T(p)(x) = p(x+1) - p'(x) = (a*v)(x+1) - (a*v)'(x) = (a*v)(x+1) - (a*k*v')(x) = a*((v)(x+1) - k*v'(x)) = a*T(v)(x)
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

nein, das stimmt so auch nicht ganz.
Ich glaube, du kommst nicht ganz damit zurecht, dass du mit Polynomen arbeitest, kann das sein? Augenzwinkern

Stell dir mal eine Funktion p(x) vor. Diese hat die Ableitung p'(x). Jetzt multipliziere die Funktion mal mit z.B. 2, also 2*p(x).
Die Ableitung davon ist einfach 2*p'(x). Für 3*p(x) ist die Ableitung 3*p'(x).

Das Ganze nennt sich Faktorregel: Konstante Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten. Oder in Formeln:



Und genau das musst du auf (a*v)'(x) anwenden. Augenzwinkern

air
Glutexo Auf diesen Beitrag antworten »

Achso - eben, mit dem war ich mir nicht ganz sicher.
So, nun sollte es aber stimmen:

T(a*v)(x) = T(p)(x) = p(x+1) - p'(x) = (a*v)(x+1) - (a*v)'(x) = (a*v)(x+1) - a*v'(x) = a*(v(x+1) - v'(x)) = a*T(v)(x)
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Prinzipiell in Ordnung. Mit dieser kleinen Änderung fände ichs schöner:

Zitat:
Original von Glutexo
T(a*v)(x) = T(p)(x) = p(x+1) - p'(x) = (a*v)(x+1) - (a*v)'(x) = a*v(x+1) - a*v'(x) = a*(v(x+1) - v'(x)) = a*T(v)(x)


Freude

air
Glutexo Auf diesen Beitrag antworten »

Achso - oke, du hast Recht.
Gemeint habe ich aber natürlich dasselbe smile

Hättest du auch eine Idee (oder Vorgehensweise), wie man eine Jordanbasis T finden könnte?
Liebe Grüsse,
Glutexo Augenzwinkern
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte die Matrix von T bezüglich der Standardbasis und führe dann einen Algorithmus deiner Wahl durch, um die Jordanbasis zu finden, so wie du es auch machen würdest, wenn du eine lineare Abbildung auf einem Spaltenraum gegeben hättest.
Glutexo Auf diesen Beitrag antworten »

Eine kleine Verständnisfrage noch:
Die Matrix T ist dann eine 5x5 Matrix, oder?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. smile
Glutexo Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, dass ich nochmals frage:
Aber wie sähe dann ein solches T aus?

Ich habe folgendes:

..was aber nicht stimmen kann, da ich keine "normale" Jordan-Form herauskriege..

Was ich gemacht habe, um T zu berechnen: Ich hab e zB für die erste Zeile x=1 gesetzt und gerechnet: (1+1) - p'(1) = 2; etc..
Wie sollte die Rechnung richtigerweise aussehen?

Besten Dank und einen schönen Abend!
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst diese Basisvektoren unter T abbilden und dann ihre Bilder wieder in Koordinaten bezüglich dieser Basis darstellen.

D.h. z. B. für den ersten Basisvektor (): T(1)=1 (nicht 2!). Das Bild ist also wieder und die Koordinaten von bzgl. der Basis sind natürlich . Also ist auch die erste Spalte deiner Darstellungsmatrix gegeben durch
.

So fährst du nun mit allen Basisvektoren fort, bis du die Matrix hast. Dann hast du aber selbstverständlich noch nicht die Jordanbasis gefunden, was ja auch ein zu schöner Zufall gewesen wäre. Du musst dann einen dir bekannten Algorithmus durchführen, um die Jordanbasis zu finden. Da dir die Aufgabe gestellt wurde, nehme ich an, dass du einen solchen Algorithmus kennst.
Glutexo Auf diesen Beitrag antworten »

Ah oke - aber wie sähe das bei 2 aus?
also: T(2) = [ich seh das noch nicht ganz..]

Ja, den Algorithmus um zur Jordanbasis zu gelangen kenne ich.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Warum T(2)? Dein nächster Basisvektor ist . Du musst also T(X) berechnen.
Glutexo Auf diesen Beitrag antworten »

..und T(X) ist dann was?

Ist das wieder X, weil X+1-1?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Aber jetzt arbeite doch mal selbstständig durch und zeig mir die komplette Darstellungsmatrix.
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »



Stimmt das so?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Hinten und vorne nicht. Aber warum steigst du denn jetzt hier ein? Oder benutzt du mehrere Namen?
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich hab nur diesselbe Aufgabe Augenzwinkern

Hmm..also ich versteh's noch nicht ganz..warten wir auf Glutexo's Antwort..
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Dann erstmal ohne das Aufstellen der Matrix. Was ist denn ?
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, das ist falsch. Du kannst ja mal erklären, wie du das rechnest und dann gucke ich mir das morgen an.
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hab ich mir gedacht, dass es falsch sei..sonst hätte das vorher auch schon stimmen müssen..

Also, es ist ja:
T(p)(x) = p(x+1) - p'(x)

Da setze ich einfach für x X^2 ein...also: X^2 + 1 - 2X
Ja, ich wäre froh, wenn du mir zeigen könntest, wie man das richtig rechnet..so seh ich dann auch, was und warum ich es falsch gemacht habe..

Gute Nacht!
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Die Abbildungsvorschrift besagt folgendes: Bilde das Polynom p(x) ab auf p(x+1), d.h. setze in p x+1 ein. Dann ziehe die Ableitung von p an der Stelle x ab.

Das heißt, wie wir ja bereits ausgerechnet haben: (da 1 immer 1 ist, egal was man einsetzt; und da die Ableitung 0 ist).

Dann ist - wir setzen in ein und ziehen dann die Ableitung von , also 1, ab.

Also geht das Ganze so weiter: .

Führe dies nun für die restlichen Basisvektoren durch.
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Oke, die Matrix T saehe dann so aus:

jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wie kommst du darauf? Du musst diese Resultate in Koordinaten bezüglich der Basis als Spalten in die Matrix eintragen.
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Du musst diese Resultate in Koordinaten bezüglich der Basis als Spalten in die Matrix eintragen.

Wie meinst du das genau? (Könntest du mir evtl ein Beispiel (anhand meiner Matrix) machen?)
Besten Dank!
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Na schön, also wir haben die Basis . Dann hat beispielsweise das Polynom bezüglich dieser Basis die Koordinaten . Das sollte dir aber aus deiner Vorlesung/Übung irgendwie bekannt vorkommen: Man wählt eine Basis aus und kann dann Vektoren Koordinaten bzgl. dieser Basis zuordnen.
Kannst du jetzt damit die Matrix aufstellen?
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hab ich smile
Noch eine allerletzte Frage: Jordanbasis und Jordanform, das ist dasselbe, oder? Augenzwinkern
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist nicht das gleiche. Die Jordanform ist die Gestalt der Matrix - diese Gestalt erhält man genau dadurch, dass man sie bezüglich der Jordanbasis darstellt. Die Begriffe sind also verbunden, aber sicherlich nicht das gleiche.

Wie sieht denn nun deine Matrix von T bezüglich der Basis aus?
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Achsoo oke smile
Dann ist alles klar =)

Die Matrix sieht so aus:


Der Rest ist nun klar.
Besten Dank für Deine Hilfe und Deine Geduld! smile
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast dich in der letzten Spalte verrechnet, der Rest stimmt.
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah tatsächlich..
Danke Dir für den Hinweis! smile
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, nachdem wir das jetzt hinter uns gebracht haben, wie sieht denn dann die Jordanbasis aus? Danach war doch ganz urspünglich gefragt, oder?
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