Separabel

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BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »
Separabel
Sei ein metrischer, separabeler Raum und ;
Zeige dass separabel ist.


Antwort:
A enthält nur Punkte aus , wobei Y abzählbar und dicht in X (nach Voraussetzung).

Nun gilt ja offensichtlich , mit anderen Worten heißt das dann ja auch dass alle Elemente die in A liegen entweder in Y oder oder nicht in Y liegen.
Im zweiten Fall liegt dann x im Rand von Y bzw. im Abschluss:
oder

Wir finden also eine Menge und , so dass alle in der Menge liegen.

Nun gilt offensichtlich, dass V abzählbar ist, denn Y ist abzählbar und es gilt dann auch
Es folgt die Separabilität von .


Habe ich das so richtig gemacht? Bitte schauts euch mal an, habe zwar eine Musterlösung von meinem Tutor bekommen, dennoch finde ich meinen Beweis sehr einfach und gut zu verstehen.

Danke im Voraus
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm... Du wählst eine Menge aus X und argumentierst dann, dass sein muss.

1.) In welchem Raum wurde der Abschluss genommen?

Dein Vorgehen ist ziemlich problematisch... Denn du musst schlussendlich eine abzählbare Teilmenge von A finden, die dicht in A liegt. Und du hast mit Y bloss eine dichte Menge in X...


Edit: Nur aus Interesse: War die Musterlösung

X metrisch, separabel X hat abzählbare Basis A hat abzählbare Basis A separabel ?
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gonnabphdEdit: Nur aus Interesse: War die Musterlösung

X metrisch, separabel X hat abzählbare Basis A hat abzählbare Basis A separabel ?


Das macht in einem metrischen Raum ohne Zusatzstruktur keinen Sinn.

@ Banachraum: Ich finde deinen Beweis überhaupt nicht einfach und gut zu verstehen. Was soll V für eine Menge sein? Warum für jedes x eine neue Menge V? Warum sollte der Rand von V im Rand von Y sein? Und danach sprichst du von einem V, sodass V mit dem Rand ALLE x enthält...

Da hat nix Hand und Fuß.

Wie wäre es mit: (In der Relativtopologie von A, wohlbemerkt.)
Dies musst du doch bloß begründen, dann bist du fertig, da A geschnitten mit Y höchstens abzählbar ist.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

@Sly: unglücklich Es ist durchaus möglich, dass ...

Und ich weiss nicht genau, seit wann separabel keine Zusatzstruktur zu metrisch sein soll?!
Und als Aufgabe lass ich dich mal beweisen, dass ein metrisierbarer Raum, der eine abzählbare, dichte Teilmenge besitzt, eine abzählbare Basis hat. Denn das ist ohne Frage der Fall. verwirrt


Edit: Zur Denkunterstützung gebe ich mal ein Gegenbeispiel:

Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gonnabphd
@Sly: unglücklich Es ist durchaus möglich, dass ...

Hammer ja du hast natürlich recht, da habe ich das problem zu stark vereinfacht


Zitat:
Und ich weiss nicht genau, seit wann separabel keine Zusatzstruktur zu metrisch sein soll?!


Ich weiß nicht, was du da gerade ansprichst. Jedenfalls interpretierst du den Raum offenbar schon als Vektorraum, und genau das habe ich kritisiert.

Zitat:
Und als Aufgabe lass ich dich mal beweisen, dass ein metrisierbarer Raum, der eine abzählbare, dichte Teilmenge besitzt, eine abzählbare Basis hat. Denn das ist ohne Frage der Fall. verwirrt


Das ist auch im Rahmen von Vektorräumen Quatsch. Es gibt unerschöpflich viele Beispiele für separable Banachräume, aber kein einziger (nicht-endlichdimensionaler) Banachraum hat eine abzählbare Basis. (siehe Satz von Baire)

@ Banachraum: Okay, neue Idee Big Laugh Ob es wirklich die einfachste Lösung ist, weiß ich ehrlich gesagt nicht. Aber zu schwer eigentlich auch nicht.

Nehmen wir uns Y als abzählbare dichte Teilmenge. Insbesondere kann man ja jedes a in A beliebig genau durch Elemente in Y annähern. Ist , so definiere eine Teilfolge dadurch, dass es immer jeweils ein gibt mit .

Dies müsste eine abzählbare Teilmenge definieren, die dicht in A ist. Man müsste sich dann darüber Gedanken machen, wie man das nun begründet Augenzwinkern
Es hängt jedenfalls zusammen mit der Eigenschaft der Folge , die alles approximieren kann. Zu jedem Punkt findet man immer wieder (und in beliebiger Größe) ein n_k, sodass y_n_k diesem Punkt sehr nah ran kommt...dann aber kommt diesem Punkt das a_k auch sehr nah...mehr Tipps gebe ich aber nicht mehr.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sly
mehr Tipps gebe ich aber nicht mehr.


Leider war das ein Tipp in die falsche Richtung. Deine a_k-Folge kann ja auch konstant sein. Man sollte eher zu jedem y aus Y das "am nächsten gelegene" a aus A finden. Oder zumindest ein nächstgelegenes a.
 
 
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Überlegung hatte ich zwar auch, aber es muss ja nicht immer ein nächstgelegenes a geben. siehe das Beispiel von gonnabphd.

Aber so richtig überzeugt von meinem obigen Lösungsansatz bin ich nun auch nicht mehr...
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Lehrer

Öhm, ich verstehe nicht, wie du auf Vektorräume oder Banachräume kommst. Ich rede nur über topologische Strukturen... Und habe nie was von Vollständigkeit erwähnt.

Also, wenn du mir's wirklich nicht glauben willst...





: Sei eine abzählbare, dichte Menge in X. Sei d eine Metrik auf X, welche die Topologie von X induziert.

Nun definieren wir (die 1/m-Bälle um y_n),
weiterhin sei

Das System der 1/m-Bälle um die Elemente von Y (für festes m),
und schliesslich
.

Behauptung: ist eine Basis von X.

Sei beliebig, eine offener Ball um x.
Nun gibt es ein N, sodass und ein s.d. , dann ist eine offene Umgebung von x aus O, welche ganz in enthalten ist.

Also ist eine abzählbare Basis wie behauptet.



Ich schätze, damit hat sich das Ganze nun erledigt.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Ach du beziehst dich auf topologische Basen! Na dann habe ich dich völlig missverstanden, Verzeihung.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

lol, ach jetzt verstehe ich.... Dann hätte ich mir die Mühe ja gar nicht machen müssen.

Nur so nebenbei, darauf hättest du auch kommen können, denn von Vektorräumen oder ähnlichem war ja nie die Rede. Und die Aufgabe ist ja auch aus der Topologie. (+ siehe unter meinem Namen) Augenzwinkern
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich hätte drauf kommen können. Bin ich aber offensichtlich nicht ^^

Also ich sehe ein, dass dein Ansatz der nun einzig sinnvolle hier ist. Nichtsdestotrotz würde ich vielleicht die Folgerung "A hat abzählbare Basis => A ist separabel" etwas mehr ausführen. Mir ist dabei klar, dass die Folgerung ja eigentlich klar ist - es wird aber in vielen Vorlesungen eben explizit nicht gemacht (zumindest meiner Erfahrung nach). Sollte dies bei dem Aufgabensteller der Fall sein, wäre es daher angebracht, ein paar Gedanken in diese Folgerung zu investieren...
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@Sly: Natürlich hast du recht. Es ging mir ja auch nur um das Prinzip. Und das hast du offenbar übersehen:
Zitat:
Original von Sly
Also ich sehe ein, dass dein Ansatz der nun einzig sinnvolle hier ist.


So geht's:

Für setze



Es gibt dann eine Folge in A, so dass Setze



Diese Menge ist offenbar abzählbar und liegt in A. Es bleibt nun für BanachraumK_5 zu zeigen, dass diese Menge dicht in A liegt.
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
1.) In welchem Raum wurde der Abschluss genommen

Nach Vorraussetzung handelt es sich um einen metrischen Raum.

Zitat:
Edit: Nur aus Interesse: War die Musterlösung X metrisch, separabel X hat abzählbare Basis A hat abzählbare Basis A separabel ?

Nein, die Musterlösung kann man mit Web fritzis Ansatz vergleichen, wobei wir dazu später noch kommen.

Zitat:
Ach du beziehst dich auf topologische Basen! Na dann habe ich dich völlig missverstanden, Verzeihung.

Topologische Basen? Das führt mir ein wenig zu weit, schaut euch meine Konstruktion an, ich habe meinen Beweis nocheinmal überarbeitet.

Zitat:
So geht's:

Danke Webfritzi, so gehts wirklich und den Beweis können wir gleich auch nochmal durchgehen. Zunächst halte ich aber mal an meinem Beweis fest.

Und eins wundert mich dann auch noch, entweder ist mein Beweis richtig oder falsch! Ihr vermittelt einem das Gefühl, das euch selber nicht klar ist ob der Beweis nun stimmt. Ich poste ihn jetzt nochmal und möchte genau wissen falls er nicht stimmt, wo ich einen falschen Schluß ziehe.




Es sei also ein metrischer und separabler Raum.
z.z.: Ist so ist ebenfalls ein metrischer Raum, wir wollen nun zeigen das auch separabel;

Schreibe und wähle beliebig. ( ist abzählbare dichte Teilmenge von X)

Schreibe nun

In Worten bedeutet das, dass alle Elemente in A entweder in Y liegen oder im Rand von Y, das ist anschaulisch klar und auch definitiv richtig!

Jetzt machen wir weiter, bzw. sind fertig denn es folgt nach Konstruktion

.

Nach Konstruktion ist dann auch V abzählbar und daher folgt die Separabilität von q.e.d.



Also ich sehe da keinen Widerspruch oder auch keine Unstimmigkeit in meinem Beweis, wer anderer Meinung ist tue bitte seine Meinung kund.

Den Beweis von Webfritzi werde ich später nochmal hier posten. Definitiv finde ich ich den Ansatz von Webfritzi schwerer wie soll man denn von alleine darauf kommen den Radius zu wählen???
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BanachraumK_5
.


Das ist falsch, wie schon von Sly (und mir - wenn auch erst angedeutet), erklärt.
Gegenbeispiel:

Was ist dann in diesem Falle V?

ps.: "In welchem Raum wurde der Abschluss genommen" meint, ob im Unterraum A oder in X (und das ist ein Unterschied...)

pps.: "Dein Vorgehen ist problematisch" heisst übersetzt in Deutsch "Dein Beweis ist so, wie er da steht, falsch. Man könnte ihn aber evtl. modifizieren, damit er dann doch funktioniert"
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich hast du Recht! In deinem Gegenbeispiel wäre die Menge V leer und somit wäre auch der Abschluss leer.

Ich muss in meinen Beweis noch die Eigenschaft einbauen, dass der Rand alle Grenzwerte enthält.

In deinem Beispiel würde das dann bedeuten, dass die Menge aller Grenzwerte der Folgen aus ist.

Kannst du mir mal eine abzählbare Menge nennen die dicht in liegt?

Mein Ziel ist es sozusagen zu zeigen, dass jede Menge einteilbar ist

in den Rand und die Menge selbst, und dann über die Konvergenzeigenschaft die Separabilität zeigen.

Hört sich vlt. etwas wirr an, könnte aber klappen.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BanachraumK_5
Kannst du mir mal eine abzählbare Menge nennen die dicht in liegt?


Wenn ich mich nicht täusche, müsste



eine solche Menge sein.

Zu deinem Vorhaben - siehe post von WebFritzi weiter oben. Was er macht, ist genau deine Idee.
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »



Beweis: Sei wir haben zu zeigen dass eine Folge existiert mit ; Sei also eine solche Folge in B, dann hat diese Folge die Form , wobei entweder der erste und der zweite Term von k abhängig ist oder beide. Man sieht sofort das irrational ist und somit in A liegt. Da dicht in liegt und zwischen zwei reelen Zahl eine rationale Zahl liegt folgt nach Konstruktion die Behauptung.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HausdorffK_5
... wir haben zu zeigen dass eine Folge existiert ...


Zitat:
Original von HausdorffK_5
Sei also eine solche Folge in B


Das geht natürlich nicht! Du willst zeigen, dass es eine solche Folge gibt, dann kannst du doch nicht die Folge, welche vielleicht ja gar nicht existiert nehmen und dann sagen: "Ja, die Folge existiert tatsächlich".

Wenn du beweisen willst, dass es eine solche Folge gibt, solltest du folgendermassen vorgehen:

Du nimmst dein x in A und legst legst darum eine epsilon-Umgebung. Nun solltest du zeigen, dass für jedes epsilon ein b aus B in dieser Umgebung um x liegt.

Und indem du dann für spezielle epsilon (z.B. 1/n) jeweils ein b_n aus der epsilon-Umgebung (1/n-Umgebung) nimmst, kannst du dann deine konvergente Folge konstruieren.
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das geht natürlich nicht! Du willst zeigen, dass es eine solche Folge gibt, dann kannst du doch nicht die Folge, welche vielleicht ja gar nicht existiert nehmen und dann sagen: "Ja, die Folge existiert tatsächlich".




Es gilt für

Es existiert doch wie ich oben gezeigt habe eine Folge welche gegen Elemente aus dem Raum A konvergiert.

Ich möchte den Abschluß von B bestimmen und dazu zeige ich dass für jedes Element aus A ein Folge in B existiert welche gegen ersteres konvergiert.

Es gilt nämlich folgendes:

mit
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal:
konvergiert gegen , unabhängig von a und b (falls das Konstanten sind?).

Sorry, ich versteh nicht, warum du meinst, gezeigt zu haben, dass B dicht in A liegt... verwirrt

Vielleicht liegt ja hier dein Fehler?!
Jedes ist von der Form und jedes ist irrational. Das heisst aber nicht, dass auch von der Form sein muss...

Edit: Vielleicht interpretiere ich deinen Beitrag oben einfach auch nicht richtig... Ist alles recht wirr.

Zitat:
Sei wir haben zu zeigen dass eine Folge existiert mit


So weit, so gut.

Zitat:
Sei also eine solche Folge in B, dann hat diese Folge die Form


Wie schon gesagt: du hast noch nicht gezeigt, dass es eine solche Folge gibt. Deshalb ist "sei also (x_k) eine solche Folge" einfach unsinnig.
Der zweite Teil ist richtig: mit .

Zitat:
Man sieht sofort das irrational ist und somit in A liegt.


Ja. (x_k) ist aber immernoch irgendeine beliebige Folge in B, siehe oben (meinetwegen kann sie auch konvergent sein)

Zitat:
Da dicht in liegt und zwischen zwei reelen Zahl eine rationale Zahl liegt folgt nach Konstruktion die Behauptung.


Der erste Teil ist wahr. "folgt nach Konstruktion die Behauptung"??? Welche Konstruktion?! verwirrt
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab' mir das jetzt nochmal kurz vorm schlafen gehen angeschaut:

Also wenn du folgendermassen argumentierst (und ich hoffe nicht, dass du das so gemeint hast, denn sonst wäre deine Argumentation einfach unhaltbar schlecht strukturiert und zu knapp, um als Leser irgendwas verstehen zu können), dann geht das in Ordnung:

Sei . Wir wollen zeigen, dass es eine Folge aus B gibt, welche gegen a konvergiert.

Da dicht in liegt, gibt es eine Folge , welche gegen konvergiert. [Kommentar: Das festzustellen, ist unabdingbar für den Beweis!]

Nun definiere: . Offensichtlich ist .

Dann konvergiert die Folge der gegen

Womit die Behauptung schon bewiesen ist.



Persönliches Feedback:

1.) Ich hoffe, du siehst den Unterschied zwischen diesem Beweis und dem, was du oben hingeschrieben hast... Um strukturiert zu beweisen, sollte man jede neu eingeführte Variable, Funktion, Folge, etc. zumindest definieren, wenn nicht gar näher beschreiben, um das Leben deiner Leser zu vereinfachen.

Also sowas wie

"dann hat diese Folge die Form , wobei entweder der erste und der zweite Term von k abhängig ist oder beide."

macht das Lesen ziemlich schwer und den Beweis verschwommen. (z.B. wo kommen die beiden a, b - von welchen man schlussendlich nicht weiss, ob sie von k abhängen oder nicht - her? Sind sie rationale oder ganze Zahlen? Oder etwa gar komplexe Funktionen?!) geschockt

Ich hoffe, du siehst, was ich meine.

2.) Mit meiner Methode von weiter oben (mit den 1/n-Umgebungen) geht das Ganze natürlich auch. Der Vorteil von meiner Herangehensweise ist, dass du es ganz einfach auf den allgemeinen Fall übertragen könntest...
Jetzt musst du, um deine eigentliche Aufgabe zu lösen, nochmal von vorne anfangen.
(Was vielleicht gar nicht so schlecht ist, da es Übung im Umgang mit solchen Dingen bringt)

Das war's dann auch schon. Wink
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