Beweisführung

21.03.2010, 17:34

hut

Beweisführung

Hallo,
ich hänge an einer Aufgabe fest und weiß wirklich nicht weiter^^:

Zitat:

Zeige für $\begin{eqnarray*} k \geq 2 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \frac{ {2k \choose k} }{2^{2k}}=\frac{1\cdot 3...(2k-1)}{2\cdot 4...(2k)} \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} \frac{ {2k \choose k} }{2^{2k}}=\frac{2k(2k-1)(2k-2)...(2k-k+2)(2k-k+1)}{2^{2k} \cdot k!} =\frac{2^{k}\cdot k(k-\frac{1}{2})(k-1)...(\frac{k}{2}+1)(\frac{k+1}{2})}{2^{2k}\cdot k!} =\frac{k(k-\frac{1}{2})(k-1)...(\frac{k}{2}+1)(\frac{k+1}{2})}{2^{k} \cdot k!} \end{eqnarray*}$

So, der Nenner stimmt ja schonmal, aber was mache ich nun im Zähler?k^k ausklammern bringt ja denkbar wenig.
Wäre dankbar, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte. smile

Liebe Grüße
hut

21.03.2010, 20:53

tmo

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Der Trick ist, im Nenner jeden Faktor von $\begin{eqnarray*} (k!)^2 \end{eqnarray*}$ einzeln mit 2 zu multiplizieren (Denn der Faktor 2 tritt ja 2k mal auf).

22.03.2010, 11:14

hut

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Ja, wie gesagt, der Nenner stimmt ja schon. Augenzwinkern

Mir ging es um den Zähler, den ich nicht auf die gewünschte Form bringen kann...

24.03.2010, 09:31

hut

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Niemand eine Idee? smile

24.03.2010, 11:23

tmo

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Ich verstehe nicht, warum du deinen Ansatz so wählst, wie du ihn gewählt hast.

Im Ergebnis sollen doch im Zähler auch die Zahlen 1,3,5,... als Faktor vorkommen.
Und was machst du? Du kürzt genau diese Faktoren in $\begin{eqnarray*} \binom{2k}{k} \end{eqnarray*}$ aus dem Zähler raus, indem du $\begin{eqnarray*} k! \end{eqnarray*}$ kürzt.

Man sollte immer einen Blick darauf haben, worauf man denn überhaupt hinaus will.

24.03.2010, 18:46

hut

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RE: Beweisführung
Oh nein, tut mir schrecklich Leid, ich sollte wirklich genauer hinschauen, habe gar nicht auf (k!)² geachtet. unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{ {2k \choose k} }{2^{2k}}=\frac{2k(2k-1)(2k-2)...(2k-k+2)(2k-k+1)}{2^{2k} \cdot k!} =\frac{(k!)2k(2k-1)(2k-2)...(2k-k+2)(2k-k+1)}{2^{2k} \cdot (k!)^{2}} =\frac{(2k)!}{[2\cdot 4...(2k)]^{2}} =\frac{1\cdot 3\cdot 5...(2k-1)}{2\cdot 4...(2k)} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für deine Hilfe. smile

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