Quadratische Formen

21.03.2010, 18:33

valdipop75

Quadratische Formen

ich habe ein quadratische Formen:
$\begin{eqnarray*} q\left(x_{1},x_{2} \right) = 2x_{1^{2} } - 6x_{1}\*x_{2} + x_{2} ^{2} \end{eqnarray*}$ .
ich soll die zugehörige Koeffizientenmatrik bestimmen.wie geht das?
ich kenne die quadratische Forme als
$\begin{eqnarray*} (x_{1},x_{2} )*\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\\end{pmatrix} . \end{eqnarray*}$
wie kann ich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ermitteln?

21.03.2010, 18:37

Iorek

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Das ist Schulmathematik? verwirrt

Einer quadratischen Form liegt immer eine symmetrische Bilinearform zugrunde, mach dir das zu nutze.

21.03.2010, 18:48

valdipop75

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nee, habe ich keine Ahnung.

21.03.2010, 18:52

Iorek

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Na, dann bleibt dir wohl nichts anderes übrig als auszumultiplizeren und das entstehende GLS zu lösen (geht auch recht schnell)

21.03.2010, 19:12

valdipop75

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hab ich versucht, kommt nichts richtige raus!

21.03.2010, 19:13

Iorek

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Was kommt denn bei dir raus? Und was soll angeblich rauskommen? Und ohne deine Zwischenschritte kann keiner nachvollziehen, wo dein Fehler liegen könnte.

21.03.2010, 19:35

valdipop75

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wenn ich multipliziere , komm ich zur
$\begin{eqnarray*} a_{1} *x_{1}^{2}+ b_{1}*x_{1}*x_{2}+ a_{2}*x_{1}^{2} + b_{2}*x_{2}^{2} =\left(a_{1}+ a_{2} \right)*x_{1}^{2} + b_{1}*x_{1} *x_{2} + b_{2}*x_{2}^{2}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \Rightarrow \left(a_{1} + a_{2} \right) = 2\Rightarrow b_{1} = -6\Rightarrow b_{2}= 1 \end{eqnarray*}$

aber wenn ich Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ -6 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einsetze, ist der Ergebnis falsch.
was nun?

edit: Returns für die bessere Lesbarkeit eingefügt.
LG sulo

21.03.2010, 19:49

Iorek

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Ich bekomm beim Ausmultiplizieren was anderes raus, überprüf nochmal deine Rechnung.

21.03.2010, 20:29

valdipop75

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nochmal gemacht:
$\begin{eqnarray*} x_{1}^{2}*\left(a_{1}+ a_{2} \right) + x_{1}*x_{2} *\left(a_{1} + a_{2} + b_{1}+ b_{2} \right)+ x_{2} ^{2} *\left(b_{2}+ b_{2} \right) \end{eqnarray*}$
dann wäre:
$\begin{eqnarray*} a_{1} + a_{2} = 2;b_{1}+ b_{2}= 1 ;a_{1} + a_{2} + b_{1}+ b_{2} = -6 \end{eqnarray*}$
Absurd!
was mache ich falsch?

21.03.2010, 20:33

Iorek

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Wie multiplizierst du das denn aus? geschockt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 & x_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & x_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} ax_1+bx_2 \\ cx_1 + dx_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , jetzt multiplizier weiter.

21.03.2010, 21:11

valdipop75

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ich hab mich in Jungle verfahren!
$\begin{eqnarray*} a*x_{1}^{2}+ x_{1}*x_{2}\left(b+c\right) + d*x_{2}^{2} \Rightarrow a= 2;d=1;b+c= -6 \end{eqnarray*}$
weil symmetrische Matrix $\begin{eqnarray*} \Rightarrow b= c= - 3 \end{eqnarray*}$
dann haben wir
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 1 & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
probiert und ...o.k. Hammer

Danke!Ihr seid die Besten!

21.03.2010, 21:12

Iorek

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Na, hättest du gesagt dass du weißt, dass eine symmetrische Matrix rauskommen muss, wäre das auch bedeutend schneller gegangen.

Zitat:

Einer quadratischen Form liegt immer eine symmetrische Bilinearform zugrunde, mach dir das zu nutze.

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