Modulorechnung - Inverses

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21.03.2010, 22:52

fitfit

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Modulorechnung - Inverses

Meine Frage:
Hey smile

Ich bearbeite grad mein verhasstes Thema "Gruppen, Ringe, Körper" und bin wieder auf ein Problem gestoßen Big Laugh

m>2, Z/mZ:=x Element(0,1,...m-1)|ggT(m,x)=1
Z/mZ,*) mit a*b:=a*b mod m ist Gruppe (!!! Über das a*b mod m müsst ihr euch den Strich für den Rest hinzudenken Big Laugh

)

beim Inversen wurde Folgendes bewiesen:
a Element von Z/mZ => ggT(a,m)=1
Existiert: x,y Element Z : ax+my=1,

Dann ax= 1 mod m
Inverses: z=x mod m

Fragen:
1. wo bleibt das y bei "ax= 1 mod m"?
2. wieso ist das Inverse "y= x mod m"?

Meine Ideen:
Ich hab jetzt einfach ein Beispiel gemacht:

Z/7Z={0,1,2,3,4,5,6}
Wähle 3*5-7*2=1
ax=1 mod 7
3*5=1 mod 7
z= 5 mod 7

Meine Überlegungen zu den Fragen:

1. das y ist dann sozusagen hier: 3*5=2*7+1, richtig?

2. Wenn man jetzt z=1*7+5 nimmt, ist z=12 und das ergibt dann wieder den Rest 5, sodass 5*5=25=Rest 4, aber 1 ist ja das neutrale Element...

Das Inverse müsste doch 3 sein, weil wenn ich 3*5 nehme, gibt das Rest 1, also das neutrale Element. Kann man nicht gleich in der Gleichung ax+my=1 das a rausnehmen? Big Laugh

Danke im Voraus!
Lg
fitfit

22.03.2010, 12:09

Reksilat

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RE: Modulorechnung - Inverses
Hi fitfit,

Zitat:

beim Inversen wurde Folgendes bewiesen:
a Element von Z/mZ => ggT(a,m)=1
Existiert: x,y Element Z : ax+my=1,

Dann ax= 1 mod m
Inverses: z=x mod m

Fragen:
1. wo bleibt das y bei "ax= 1 mod m"?
2. wieso ist das Inverse "y= x mod m"?

Zu 1: Es ist $\begin{eqnarray*} my \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ teilbar und insofern $\begin{eqnarray*} my\equiv 0\pmod m \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} ax+my\equiv ax+0\equiv ax\pmod m \end{eqnarray*}$

Zu 2: Das Inverse zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} a\cdot x=1\pmod m \end{eqnarray*}$ .
Von $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ sehe ich da nichts. verwirrt

Zitat:

Ich hab jetzt einfach ein Beispiel gemacht:

Z/7Z={0,1,2,3,4,5,6}
Wähle 3*5-7*2=1
ax=1 mod 7
3*5=1 mod 7
z= 5 mod 7

Das ist unverständlich aufgeschrieben! Lege zuerst ein a fest, von dem Du das Inverse ausrechnen möchtest, also z.B.: a=3. Dann findet man mit dem euklidischen Algorithmus x und y mit ax+my=1. (Hier: x=5, y=-2)
Ergebnis: das mulitplikativ Inverse zu 3 ist 5.

Gruß,
Reksilat.

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