Konvergenz (Folge)

22.03.2010, 10:21

Physikstudent

Konvergenz (Folge)

Ist es eigentlich schon bekannt, dass man mit der Definition vom Grenzwert einer Folge (die auch unter Wikipedia im Artikel "Grenzwert (Folge)" steht), beweisen kann, dass z .B. $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 5 \end{eqnarray*}$ ist?

22.03.2010, 10:22

Iorek

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Dann beweis mir das bitte mal.

22.03.2010, 10:35

Physikstudent

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Sei $\begin{eqnarray*} a_n := \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ Folge. $\begin{eqnarray*} (n \in \mathbb {N}) \end{eqnarray*}$

Zu zeigen: Die Folge ist konvergent $\begin{eqnarray*} :\Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Es existiert ein $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ , sodass gilt: $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0\ \exists p \in \mathbb {R}\ \forall n \in \mathbb {N}\ (n > p \Rightarrow |a_n - b| < \epsilon) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ heißt dann Grenzwert der Folge und man schreibt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = b \end{eqnarray*}$ .

Ist die Prämisse falsche, wird die Gesamtaussage immer richtig sein. Wähle ich also $\begin{eqnarray*} p := \max \{n+1, sgn(\epsilon) \} \end{eqnarray*}$ , habe ich bewiesen, dass jedes $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ Grenwert von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist. Es existiert also zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} p := \max \{n+1, sgn(\epsilon) \} \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb {N} > p \end{eqnarray*}$ die Aussage $\begin{eqnarray*} |a_n - b| < \epsilon \end{eqnarray*}$ wahr ist.

Wo ist mein Denkfehler?

22.03.2010, 10:47

Manus

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$\begin{eqnarray*} max\{n+1,sgn(\epsilon)\}=n+1 \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Du möchtest also für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ für dein p immer n+1 wählen?

Das ist totaler Unfug. Das p darf niemals von n abhängig sein. Du sollst zu einem fest vorgegebenen $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ein p finden, sodass für alle n die größer als p sind $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ in der Epsilon-Umgebung von b liegt.

Und darum ist auch 5 nicht Grenzwert der Folge. Egal wie groß du dein p wählst, du wirst immer n finden die größer sind, da $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nach dem Satz von Archimedes nicht beschränkt ist.

22.03.2010, 11:10

Physikstudent

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Zitat:

Original von Manus

Das p darf niemals von n abhängig sein.

Das muss man natürlich erst einmal wissen. unglücklich

22.03.2010, 11:13

Manus

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Naja, es steht im Prinzip in der Definition drin.

22.03.2010, 11:46

Airblader

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Es ist zwar schön, dass du dir Gedanken machst, aber ich würde davon ausgehen, dass du in einem der Grundbegriffe der Mathematik schlechthin sicher keinen derartigen Fehler findest.
Insofern finde ich die Behauptung "Ist eigentlich schon bekannt ..." schon sehr krass. Ein simpleres "Wo liegt hier mein Denkfehler .." wäre da doch angebrachter und wesentlich weniger überheblich.

air

22.03.2010, 12:03

Metaphysikstudent

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Hey Physikstudent: Nomen Est Omen!

22.03.2010, 13:24

giles

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ITT: Fremdschämen...

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