Integralrechnung-Zufluss bzw. Abfluss |
| 22.03.2010, 12:01 | Zuzuu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Integralrechnung-Zufluss bzw. Abfluss Hallo Forum, ich habe eine Frage zu folgenden Aufgaben: 1. Ein quaderförmiger Swimmingpool mit 8m Länge, 5m Breite und 3m Höhe wird mit Wasser gefüllt. Zu Beginn beträgt die Wasserhöhe 0,1m. Der Zu- bzw. Abfluss des Wassers wird modellhaft beschrieben durch die Zulaufratenfunktion mit f(t)= t³-13t²+40t. (f(t) in m³ pro Stunde, t in Stunden) Berechnen Sie die maximale Wassermenge im Pool! --> Ich habe diese Aufgabe mit der Stammfunktion gelöst. Soweit ist mir alles klar, aber man kann sie auch mit der Integralrechnung lösen. Hiermit habe ich Probleme. Undzwar steht in der Lösung folgendes: \int_0^3 \! f(t) \, dx Wieso steht hier plötzlich f(t)?? Ich würde hier die Stammfunktion einsetzen, da sie die Gesamtmenge angibt!! Ich verstehe nicht, wann man die erste Ableitung unter dieses Integralzeichen setzen sollte. Die erste Ableitung war jetzt nur ein Beispiel. Ich verstehe im Allgemeinen nicht, wie man damit rechnen soll. Vielen Dank im Voraus Zuzu Meine Ideen: .. |
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| 22.03.2010, 12:17 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Integralrechnung-Zufluss bzw. Abfluss
Wirklich? Welche Funktion gibt denn nun die zur Zeit t im Swimmingpool befindliche Wassermenge an? |
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| 22.03.2010, 12:22 | Zuzuuu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung-Zufluss bzw. Abfluss Ich habe auch eine andere Aufgabe. Wenn ich sie miteinander vergleiche komme ich durcheinander. Undzwar ist es so, dass ich bei der anderen Aufgabe die Regenstärke ausrechnen sollte. Dafür habe ich dann die Funtkionsgleichung, die die Wassermenge im Gefäß beschreibt, abgeleitet. Dann sah es folgendermaßen aus . Dies war mir klar. Denn um die Regenstärke auszurechnen, musste man die 1. ableitung bilden, aber die aufgabe, die vorhin gestellt habe, hat mich durcheinander gebracht. es wäre nett, wenn mir jemand helfen würde, ich schreibe übermorgen meine abiklausur in mathe (LK). |
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| 22.03.2010, 12:25 | Zuzuuu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung-Zufluss bzw. Abfluss Die Stammfunktion gibt doch die Wassermenge zu einem bestimmten Zeitpunkt an. Die normale Funktion, die gegeben ist, gibt doch den Zustrom an. Denke ich falsch ? |
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| 22.03.2010, 12:33 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Integralrechnung-Zufluss bzw. Abfluss
Klares jein. Leider hast du meine vorige Frage nicht beantwortet.
Ja. Allerdings muß man feinfühlig auf die Formulierung in der Aufgabe achten. Hier ist von Zulaufrate die Rede. Insofern ist das richtig. |
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| 22.03.2010, 12:36 | Zuzuuu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung-Zufluss bzw. Abfluss Ich weiß nicht wie ich die Frage beantworten soll. Ich bin die ganze Zeit davon ausgegangen, dass die Funktionsgleichung, die gegeben ist, die Zulaufrate beschreibt und die Stammfunktion die Gesamtmenge. |
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| 22.03.2010, 12:39 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung-Zufluss bzw. Abfluss Nun ja, irgendwie schon. Aber: es gibt nicht die Stammfunktion und obendrein ist zu Beginn schon Wasser in dem Becken. Es gibt exakt eine Funktion, mit dem die vorhandene Wassermenge dargestellt wird. |
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| 22.03.2010, 12:44 | Zuzuuu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung-Zufluss bzw. Abfluss Nun ja, das ist mir alles schon klar, aber ich frage mich die ganze Zeit, wie man auf diese Rechnung kommt: Wenn man das Ergebnis raus hat, muss man natürlich auch noch die Wassermenge, die am Anfang vorhanden war, dazu addieren. |
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| 22.03.2010, 12:54 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung-Zufluss bzw. Abfluss Erstmal muß es heißen. Und dann ist das die Wassermenge, die innerhalb der ersten 3 Stunden hinzukommt. Nicht mehr und nicht weniger. |
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| 22.03.2010, 13:00 | Zuzuuu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung-Zufluss bzw. Abfluss Nun ja, ich habe mich verschrieben! Aber das hilft mir jetzt auch nicht weiter. Meine Frage war, warum man nicht die Stammfunktion unter das Integral setzt. Hier wird einfach die Zulaufratenfunktion genommen. Ich glaube, dass ich das hier nicht verstehen werde. Trotzdem danke. |
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| 22.03.2010, 13:11 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung-Zufluss bzw. Abfluss Zulaufrate bedeutet, daß f(t) die Menge Wasser angibt, die pro Zeiteinheit ins Becken fließt. Die in der Zeit zufließende Menge ist also ca. . Dieses ist eine kleine Rechteckfläche unterhalb des Graphen von f(t). Diese Flächen müssen alle aufaddiert werden und beim Übergang zu infinitesimal kleinen Zeitintervallen kommt man zum Integral . |
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| 22.03.2010, 13:26 | Zuzuuu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung-Zufluss bzw. Abfluss Gut. Soweit habe ich es verstanden. Wenn man das Integral benutzt wird praktisch alles zusammenaddiert von 0 bis 3. Wenn man dies ausgerechnet hat, muss man die Wasssermenge, die am Anfang vorhanden war dazu addieren. Die Stammfunktion, die ich gebildet habe, gibt also die Gesamtmenge an. Wenn ich z.B. den Punkt t=3 in die Stammfunktion einsetze, bekomme ich die direkt die Gesamtmenge an Wasser zu diesem Zeitpunkt heraus. Soweit ist alles klar!! Nun zu der zweiten Frage. Ich hatte noch eine zweite Aufgabe. Hier beschreibt die gegebene Funktion die gesamte Regenmenge. Also ist die Aufgabe anders herum gedreht. Dort war die Aufgabe: Berechnen Sie die mittlere Regenstärke aus! Dies konnte man auch mit dem Integral berechnen. Hierfür habe ich die 1. Ableitung gebildet, da sie ja die Regenstärke angibt. Nun habe ich diese Funktion unter das Integralzeichen gesetzt und anschließend mit .... geteilt. Hier kam dann die mitllere Regenstärke heraus. Ich weiß nun nicht, warum man zum Beispiel, bei der ersten Aufgabe einfach f(t) genommen hat(aber inzwischen ist es mir auch klar geworden) und in der zweiten nimmt man die 1.Ableitung, um die Regenstärke auszurechnen. Aber wenn man beide Aufgaben miteinander vergleicht, komme ich tortzdem durcheinander 
Trotzdem danke klarsoweit. Du hast wirklich viel Zeit hierfür investiert. Mir ist es im Moment auch ziemlich wichtig, ich möchte eine anständige Note schreiben und die Zusammenhänge in der Klausur richtig präsentieren. Wenn ich die Zusammenhänge nicht verstehe, kommt mir diese ganze Rechnerei überhaupt nicht sinnvoll vor.
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| 22.03.2010, 14:02 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Integralrechnung-Zufluss bzw. Abfluss
Nochmal klar und deutlich: F(t) - F(0) gibt die im Intervall [0; t] zufließende Wassermenge an. Da F(0) = 0 ist, kann man es auch weglassen. (Das muß aber nicht immer so sein.) F(t) ist aber in keinem Fall die Gesamtmenge, sondern nur die zugeflossene Menge. In der Klausur wird der Lehrer deine ungenauen Formulierungen mit Punktabzug bestrafen.
Da ich nicht die genaue Aufgabe kenn, kann ich nicht so viel dazu sagen. Mir scheint es aber ein unnötiger Umweg zu sein. Warum solle ich eine Funktion erst ableiten, um sie dann wieder zu integrieren? 
Wenn ich die mittlere Regenstärke im Intervall [t_1; t_2]haben will, dann nehme ich die Formel . Fertig. |
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| 22.03.2010, 15:15 | Zuzuu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integralrechnung-Zufluss bzw. Abfluss [quote]Original von klarsoweit In der Klausur wird der Lehrer deine ungenauen Formulierungen mit Punktabzug bestrafen. Das ist mir auch schon klar!! 
Nun zurück zur Aufgabe. Ich habe es jetzt endlich verstanden. Die Stammfunktion braucht man praktisch nur, um die Rechnung ohne Integral durchzuführen. Man muss aber darauf achten, dass der Anfangsbestand berücksichtigt wird. Je nachdem, ob es mit beispielsweise 0Liter oder 5Liter anfängt. Beim Integral muss man die Funktion für die Zulaufrate nehmen und sie unter das Integralzeichen einsetzen. Auch hier muss man darauf achten, wenn in der Aufgabe steht, dass im Gefäß 4 Liter Wasser ist, muss man diesen Wert dazuaddieren. Trotzdem danke klarsoweit 
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