Hilfe bei Summen

23.10.2006, 15:02

beachboy

Hilfe bei Summen

Hallo,

habe probleme mit folgenden Summen:

1. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^4~1 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^k~j \end{eqnarray*}$

wie berechne ich die? Mich verwirrt, dass bei 1. kein k ist sondern nur die 1 und bei 2. kein i nur ein j

3. ersetzen sie in der summe $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i \end{eqnarray*}$ den Index i durch $\begin{eqnarray*} j=n+1-i \end{eqnarray*}$ und zeigen sie, dass dies auf folgende beziehung führt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i =(n+1)n-\sum_{j=1}^n~j \end{eqnarray*}$

b)und was folgt daraus für den Wert der Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i \end{eqnarray*}$

hoffe mir kann jmd weiterhelfen!

lg
beach

also ich habe angefangen, die neue unter+obergrenze zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} j=n+1-i =>i=-j+n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i=1 => j=n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i=n =>j=1 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} \sum_{j=n}^1~(-j+1+1) \end{eqnarray*}$

ist das so richtig? wenn ja wie mache ich weiter?

23.10.2006, 15:09

Dual Space

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RE: Hilfe bei Summen
*verschoben* (Zwar wird an manchen Schulen die Rechnung mit Summenzeichen recht stiefmütterlich behandelt, dennoch gehört es zu Schulmathematik.)

23.10.2006, 15:40

Lazarus

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1) $\begin{eqnarray*} 1+1+1 \end{eqnarray*}$ siehe 2)
2) $\begin{eqnarray*} \sum_i^k ~ j=\underbrace{j+j+...+j}_{\mbox{ k mal }}=k \cdot j \end{eqnarray*}$

3)
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i &=&(n+1)n-\sum_{j=1}^n~j \\ \sum_{i=1}^n~i + \sum_{j=1}^n~j &=&n\left(n+1\right) \\ \sum_{i=1}^n~i &=& \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

eigentlich recht bekannt.

deine umformungen zur findung der neuen ober/untergrenze der Summe kann ich nicht nachvollziehen..

23.10.2006, 18:46

beachboy

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1,2 sind mir jetzt klar danke Big Laugh

zu 3,

ich muss doch eine indextransformation vollziehen oder nicht?

für i setze ich -j+n+1 ein

untergrenze: da i=1 gegeben ist folgt doch darauf (eingesetzt oben) j=n

obergrenzen i=n => (oben eingesetzt) j=1

und wie zeige ich jetzt, dass mich diese transformation auf das führt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i=(n+1)n\sum_{j=1}^n~j \end{eqnarray*}$

du hast ja gezeigt was rauskommt wenn ich $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i \end{eqnarray*}$ berechne, wobei ich das nicht verstanden habe, $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i \end{eqnarray*}$ ist doch das selbe wie $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n~j \end{eqnarray*}$ oder? aber wie komm ich dann drauf, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ ist?

danke für die hilfe!
lg
beach

23.10.2006, 20:03

klarsoweit

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RE: Hilfe bei Summen

Zitat:

Original von beachboy
=> $\begin{eqnarray*} \sum_{j=n}^1~(-j+1+1) \end{eqnarray*}$

ist das so richtig? wenn ja wie mache ich weiter?

Fast, vielleicht auch nur verschrieben. Richtig ist:
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=n}^1~(-j+n+1) \end{eqnarray*}$
Vertauschen der Summengrenzen verändert nur die Reihenfolge der Summanden, aber nicht das Ergebnis. Also ist das auch:
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n~(-j+n+1) \end{eqnarray*}$

Jetzt die Summe auseinander ziehen:
$\begin{eqnarray*} \ldots = \sum_{j=1}^n~(n+1) + \sum_{j=1}^n~(-j) = n \cdot (n+1) - \sum_{j=1}^n~j = n \cdot (n+1) - \sum_{i=1}^n~i \end{eqnarray*}$

Bei der letzten Umformung wurde einfach j durch i ersetzt, was ja nicht an der Summe ändert. So, jetzt nochmal an die Ausgangssituation denken. Letzteres ist gleich $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i \end{eqnarray*}$ . Also haben wir:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i = n \cdot (n+1) - \sum_{i=1}^n~i \end{eqnarray*}$

Jetzt noch nach der Summe umstellen und fertig.

24.10.2006, 12:21

beachboy

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vielen dank das hat mir echt weitergeholfen!

weiter umformen hab ich so gemacht:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i = n \cdot (n+1) - \sum_{i=1}^n~i \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i +\sum_{i=1}^n~i =n(n+1) \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} 2\cdot \sum_{i=1}^n~i =n(n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i =\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

damit habe ich ja auch dann den wert der summe $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i \end{eqnarray*}$ gezeigt! was ja teilaufgabe b) war. Oder?

DANKE für die super hilfe!!

lg beach

24.10.2006, 14:40

Lazarus

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genau.

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