Beispiele für unendlichdimensionale VR im Komplexen?

22.03.2010, 16:42

Emmy

Beispiele für unendlichdimensionale VR im Komplexen?

Hallo
Kann mir jemand Beispiele für unendlichdimensionale VR im Komplexen nennen?
Ich hatte an C hoch n gedacht mit der Basis B =(v1,v2,...v2n)
wobei die Vektoren linear unabhängig sind und dimm n=unendlich.
LG
emmy

22.03.2010, 16:51

jester.

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$\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^n \end{eqnarray*}$ ist ein endlich-dimensionaler, um genau zu sein, n-dimensionaler, Vektorraum.

Wie wäre es denn mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}[X] \end{eqnarray*}$ ?

22.03.2010, 16:54

Emmy

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wie ist C[X] denn definiert?
Ist R hoch n mit n= unendlich dann auch endlich?

22.03.2010, 16:59

jester.

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Zitat:

Original von Emmy
wie ist C[X] denn definiert?

Das ist die Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ in der Variablen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Ist R hoch n mit n= unendlich dann auch endlich?

Ja und nein. $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^\infty \end{eqnarray*}$ gibt es in dem Sinne nicht, das kann man aber als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , die Menge aller reellwertigen Folgen verstehen.

22.03.2010, 18:04

Emmy

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Hallo Danke
Und wie ist die Basis zu diesem VR?
LG

22.03.2010, 19:12

papahuhn

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Ich denke nicht, dass man diese Basis explizit angeben kann.

22.03.2010, 19:18

Manus

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Naja vllt:

$\begin{eqnarray*} \{ (a_n)_{n \in \mathbb N} \in \mathbb C^{\mathbb N} ; \exists ! i \in \mathbb N : a_n=\delta_{i,n} \forall n \in \mathbb N\} \end{eqnarray*}$

Edit: Bei Betrachtung als $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ -Vektorraum natürlich.

22.03.2010, 19:20

Urza

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Zitat:

Original von Emmy
Hallo Danke
Und wie ist die Basis zu diesem VR?
LG

Ich kenne die Notation $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{\infty} \end{eqnarray*}$ für den Vektorraum der reellen Zahlfolgen, bei denen nur endlich viele Folgenglieder ungleich 0 sind. Ich habe auch schon $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{(\mathbb{N})} \end{eqnarray*}$ als Schreibweise dafür gesehen. Bei diesem kann man eine (abzählbar unendliche) Basis leicht angeben.
Mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ ist dagegen immer der Vektorraum aller reellen Zahlfolgen gemeint, der auch unendlichdimensional ist, aber man kann wie papahuhn sagt keine Basis angeben.

22.03.2010, 19:22

Manus

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Zitat:

Original von Urza

Zitat:

Original von Emmy
Hallo Danke
Und wie ist die Basis zu diesem VR?
LG

Ich kenne die Notation $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{\infty} \end{eqnarray*}$ für den Vektorraum der reellen Zahlfolgen, bei denen nur endlich viele Folgenglieder ungleich 0 sind.

Das ist ja eigentlich genau der $\begin{eqnarray*} \mathbb C[X] \end{eqnarray*}$ .

Edit: AHHh, wieso springt ihr eigentlich ununterbrochen zwischen reell- und komplexwertigen Vektorräumen hin und her?

22.03.2010, 19:28

Urza

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Ja, kann man auch identifizieren (in Bezug auf Vektorraumstruktur) mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ was du sicher gemeint hast.

22.03.2010, 19:31

Manus

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Jop.

Aber die Basis oben sollte es für den $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{\mathbb N} \end{eqnarray*}$ trotzdem tun.

22.03.2010, 19:34

WebFritzi

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Zitat:

Original von Manus
Edit: AHHh, wieso springt ihr eigentlich ununterbrochen zwischen reell- und komplexwertigen Vektorräumen hin und her?

Weil Emmy keinen Körper genannt hat. Augenzwinkern

@Emmy. Ein "einfacher" unendlichdimensionaler VR ist z.B. auch IR als Q-Vektorraum.

22.03.2010, 19:36

Urza

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Zitat:

Original von Manus
Jop.

Aber die Basis oben sollte es für den $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{\mathbb N} \end{eqnarray*}$ trotzdem tun.

Nein, der von einer Menge von Vektoren erzeugte Vektorraum ist gleich der Menge der Linearkombinationen aus irgendwelchen endlich vielen der Vektoren (das impliziert schon der Begriff "Linearkombination"). D.h. alle Folgen, die du mit der Menge, die du angegeben hast, erzeugen kannst, haben nur endlich viele von 0 verschiedene Glieder.

22.03.2010, 19:40

WebFritzi

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Zitat:

Original von Urza
(das impliziert schon der Begriff "Linearkombination")

Was hat denn "linear" mit "endlich" zu tun? Ich sehe das jedenfalls anders und würde auch unendliche Linearkombinationen zulassen - solange sie in einem gewissen Sinne (den man angeben müsste) konvergieren.

22.03.2010, 19:50

Sly

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Zitat:

Original von WebFritziWeil Emmy keinen Körper genannt hat. Augenzwinkern

@Emmy. Ein "einfacher" unendlichdimensionaler VR ist z.B. auch IR als Q-Vektorraum.

Naja siehe Thread-Titel "im Komplexen".

Standardbeispiele sind da ja, wie schon gesagt, $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}[X] \end{eqnarray*}$ die Menge aller abstrakten Polynome einer Variable X.

Oder eben beliebige Funktionenräume auf einer nicht-endlichen Definitionsmenge. Oder die Menge aller stetigen Funktionen auf einer solchen Menge. Ist die Menge eine offene Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^n \end{eqnarray*}$ , so ist auch die Menge der differenzierbaren, stetigen differenzierbaren, 2mal (stetig) differenzierbaren, ..., unendlich oft differenzierbaren Funktionen jeweils ein unendlichdimensionaler Vektorraum. Eine algebraische Basis ist da aber nicht ohne weiteres anzugeben.

22.03.2010, 19:53

Sly

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Zitat:

Naja in der Funktionalanalysis macht das vielleicht Sinn, aber in der (linearen) Algebra schließt man unendliche Summen doch immer pauschal aus. Außerdem ist in der Definition einer Linearkombination die Endlichkeit meines Wissens wirklich mit drin.

22.03.2010, 19:57

WebFritzi

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Verstehe jetzt, wie das gemeint ist. Danke. Ich dachte, die Endlichkeit sollte irgendwie im "linear" von "Linearkobination" stecken. Das würde ja keinen Sinn machen. Es ging aber um die Definition von "Linearkombination", und da ist tatsächlich von "endlich" die Rede.

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