Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung

22.03.2010, 17:39	mirando	Auf diesen Beitrag antworten »
Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung Hallo, wie zeigt man denn am besten, dass die Exponentialverteilung eine gedächtnislose Verteilung ist, d.h. für eine exponentialverteilte Zufallsvariable $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ soll gelten: $\begin{eqnarray} P(\{f > s+t \mid f > s\}) = P(\{f>t\}), \quad t,s \geq 0 \end{eqnarray}$ Für die Dichte der Exponentialverteilung gilt ja, falls benötigt: $\begin{eqnarray} h_{\lambda}(t) = \begin{cases} 0 & t < 0 \\ \lambda \exp(-\lambda t) & t \geq 0 \end{cases} \end{eqnarray}$ . Es gilt doch $\begin{eqnarray} P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \end{eqnarray}$ . Aber $\begin{eqnarray} P(\{f > s+t\} \cap \{f > s\}) = P(\{f > s\}) \end{eqnarray}$ - aber dann wäre ja $\begin{eqnarray} P(\{f > s+t \mid f > s\}) = 1 \end{eqnarray}$ , was wohl quatsch ist.
22.03.2010, 18:05	mirando	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich nochmal darüber nachdenke sollte es eigentlich eher lauten: $\begin{eqnarray} P(\{f>s+t\} \cap \{f>s\}) = P(\{f>s+t\}) \end{eqnarray}$ Also wäre dann zu zeigen $\begin{eqnarray} P(\{f>s+t\}) = P(\{f>s\})P(\{f>t\}) \end{eqnarray}$ was äquivalent ist zu $\begin{eqnarray} 1-F(s+t) = (1-F(s))(1-F(t)) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} F(t) = \int_{0}^{t} \lambda \exp(-\lambda x) dx \end{eqnarray}$ Sieht man das irgendwie direkt? Bei mir bleibt immer stehen: $\begin{eqnarray} \int_s^t \lambda \exp(-\lambda x) dx = -\int_0^t \lambda \exp(-\lambda x) dx + \int_0^s \lambda \exp(-\lambda x) dx \cdot \int_0^t \lambda \exp(-\lambda x) dx \end{eqnarray}$
22.03.2010, 18:32	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Na wenn du integrieren kannst, dann sollte es dir möglich sein $\begin{eqnarray} F(t) = \int_{0}^{t} \lambda \exp(-\lambda x) dx \end{eqnarray}$ auszurechnen, d.h. ohne Integral zu schreiben.
22.03.2010, 18:51	mirando	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das wäre eine Möglichkeit Sorry für die dumme Frage...

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