Monotonie, best. von NST + TPunkten

23.10.2006, 15:40

M-E

Monotonie, best. von NST + TPunkten

Hallo,
wir behandeln gegenwärtig die Themen Ableitungen und Monotonie in Mathematik und ich muss leider zugeben, dass ich nichtmehr mitkomme.
Ich hänge bereits an der ersten Aufgabe eines Blattes, das wir zu diesem Thema erhalten haben.

1)
Funktion: f(x)=-(1/2)*(x*x*x)+(3/2)*(x*x)
Bestimme Nullstelle, Tangentenpunkte, erstelle Schaubild
a) t in N(3:0)
b) Die Tangente und die Normale in W(1:1) schließen mit der x-Achse eine Fläche ein, bestimme den Flächeninhalt.
c) t von y=-(9/2)x
d) t von A(-1:-2)

Meine Frage ist jetzt, ob mir bitte jemand die Ansätze geben kann, da ich einfach keine Ahnung habe wie ich anfangen muss.

Gruß M-E

23.10.2006, 16:11

pfnuesel

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RE: Monotonie, best. von NST + TPunkten
Hallo

Gehen wir der Reihe nach:

Zitat:

Bestimme Nullstelle, Tangentenpunkte, erstelle Schaubild

Weisst du wie man die Nullstellen berechnet? Wenn du diese hast, kannst du noch einige andere Werte berechnen (evt. auch Grenzwerte), um ein Schaubild zu erhalten.

Aber was sind Tangentenpunkte?

23.10.2006, 16:47

M-E

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Jain, ich habe es versucht, in dem ich x ausgeklammert habe, wobei bei mir am ende nichts relevanter herauskam. Für gewöhnlich bekomme ich aber das noch hin.

Also:
0 = x[-(1/2)x²+(3/2)x]

Wenn ich dann aber mit -(1/2)x²+(3/2)x weiterechne (Mitternachtsformel), dann kommen bei mir total schräge Ergebnisse heraus. Laut Taschenrechner liegen die Nullstellen bei:
x1,2: (0:0) und x3: (3:0)

23.10.2006, 16:52

pfnuesel

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Du kannst sogar $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ausklammern, dann kriegst du die doppelte Nullstelle im Ursprung. Die andere Nullstelle kannst du dann praktisch ablesen.

Um ein gutes Schaubild zu erhalten, solltest du noch die kritischen Punkte finden (Minima, Maxima, Sattelpunkte) und das Verhalten der Funktion für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ , bzw. $\begin{eqnarray*} x \to -\infty \end{eqnarray*}$ untersuchen.

23.10.2006, 17:10

M-E

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Ich hatte einen kleinen Fehler in der Mitternachtsformel, anstatt c : 0 habe ich c : 1 zum Rechnen benutzt, wodurch unter der Wurzel natürlich kein richtiges Ergebniss herauskam.

Somit sind die drei Nullstellen:
x1.2: (0:0) und x3: (3:0), genauso wie der Taschenrechner es in der Grafik dargestellt hat.

Wie kann ich denn den Tief- bzw. Hochpunkt finden, durch ableiten oder muss dass auf anderem Wege gerechnet werden?

23.10.2006, 17:19

pfnuesel

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Ja, du musst die Ableitung $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ setzen, so findest du die Extrempunkte.

23.10.2006, 17:50

M-E

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Danke, ich habe das mal gemacht:

f'(x)=-1,5x²+3x, durch rechnen mit der Mitternachtsformel erhalte ich die Werte 0 und 2. Somit ist der Tiefpunkt bei (0:0), was gleichzeitig auch ein doppelzähliger Sattelpunkt ist. Wenn ich aber x=2 in die erste Ableitung einsetze, dann bekomme ich y=0, was nicht stimmen kann.
f'(2) = -1,5 / 2² + 3 * 2 = 0

Weiß jemand was ich falsch gemacht haben könnte?

23.10.2006, 18:04

pfnuesel

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Zitat:

Original von M-E
Danke, ich habe das mal gemacht:

f'(x)=-1,5x²+3x, durch rechnen mit der Mitternachtsformel erhalte ich die Werte 0 und 2. Somit ist der Tiefpunkt bei (0:0), was gleichzeitig auch ein doppelzähliger Sattelpunkt ist.

Die Werte stimmen, die Aussage mit dem Tiefpunkt auch, wenn du noch "Sattelpunkt" durch "Nullstelle" ersetzt, stimmt auch der letzte Teil deines Satzes. Augenzwinkern

Zitat:

Wenn ich aber x=2 in die erste Ableitung einsetze, dann bekomme ich y=0, was nicht stimmen kann.

Das kann stimmen und das muss sogar sein. Oben berechnest du die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ . Dann setzt du den gefundenen Wert (nämlich $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ) in $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ ein und erhältst natürlich wieder $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , genau so hast du ja die $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ herausbekommen.

Die Aussage $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ ist aber falsch. Mit der Ableitung berechnet man die Steigung. Die Steigung ist also $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , nicht der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Wert! Um den $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Wert an diesem Punkt zu erhalten, musst du die $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ einsetzen!

23.10.2006, 18:21

M-E

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Wow, danke.

Ich muss zugeben, ich hätte nie gedacht, dass es im Grunde so einfach ist. Ihr habt mir sehr geholfen und ich werde mich sicherlich noch öfters melden (müssen Augenzwinkern

), aber ich habe jetzt immerhin den Ansatz verstanden und möchte nun einmal die weiteren Teile der Aufgabe versuchen.
Ich melde mich dann was daraus geworden ist.

smile

Gruß M-E

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