Ableiten und Integrieren

22.03.2010, 19:21

Kathz

Ableiten und Integrieren

Guten Abend alle zusammen!

Ich habe wiedermal eine Blockade und weiß leider nicht mehr weiter.
Die Aufgabe lautet:

In einem Speicher fließt während eines Regenschauers Wasser. Die Stärke des Zu- bzw. Abflusses in den Speicher lässt sich durch die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(t)= (10t - 3t^2) \cdot e^{-t}; t\in [0;8] (t in h, f(t) in \frac{m^3}{h} ) \end{eqnarray*}$
beschreiben.
a) Wie groß ist der Zufluss zu Beobachtungsbeginn. Wann ist der Zufluss am stärksten?
b) Zu Beobachtungsbeginn befinden sich 5 m³ Wasser im Speicher. Wann ist der Inhalt des Speichers maximal? Wie groß ist dann Speicherinhalt?

Meine Vorgehensweise
Die erste Ableitung der Funktion zu bilden, die dann so lautet:
$\begin{eqnarray*} f'(t)= (10 - 6t) \cdot e^{-t} + ( 10t - 3t²)\cdot (-e^{-t}) \end{eqnarray*}$
notw. Bed.
$\begin{eqnarray*} f'(t) = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich aber nicht wie ich diese Funktion lösen soll, damit ich die Nullstelle habe -.-

22.03.2010, 19:52

Lampe16

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RE: Ableiten und Integrieren
Die Lösung von a) ist $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ .
b) Das momentane Volumen ergibt sich durch Integration zu
$\begin{eqnarray*} V(t)=V(0)+\int_0^t f(\tau)~{\rm d}\tau \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V(0) \end{eqnarray*}$ ist der gegebene Anfangswert des Volumens. Ich hoffe, damit kommst Du weiter.
Wegen des Nullsetzens der Ableitung: Klammere $\begin{eqnarray*} {\rm e}^{-t} \end{eqnarray*}$ aus.
Gruß, lampe16

22.03.2010, 20:02

Kathz

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RE: Ableiten und Integrieren
Danke ich weiß jetzt bescheid smile

obwohl doch nicht. Die Anwerterstellen für Hp und TP auf den Zeichnung stimmen nicht mit meinen Berechnungen überein.

$\begin{eqnarray*} x=\frac{8+\sqrt{34} }{3} v. \frac{8-\sqrt{34} }{3} \end{eqnarray*}$

22.03.2010, 22:28

Kathz

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RE: Ableiten und Integrieren
Keiner da, der mir bei der Aufgabe behilflich sein kann?

22.03.2010, 22:48

Lampe16

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RE: Ableiten und Integrieren
Bitte was sind die "Anwerterstellen für Hp und TP", und welche "Zeichnung" meinst Du? Du musst Dich verständlicher ausdrücken.
Gruß, lampe16

22.03.2010, 22:57

Kathz

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RE: Ableiten und Integrieren
Ja ich habe die erste Aleitung = 0 gesetzt um die möglichen HP oder Tp zu berechnen. Dabei habe ich die Lösungen bekommen, die ich gerade angegeben habe. Es gibt also somit zwei Anwerterstellen für HP oder einem TP.

Dafür habe ich die zweite Ableitung gebildet und geguckt ob diese < oder > Null ist um zu sehen, ob es HP oder TP gibt. Ich habe somit die hinreichende Bedingung erfüllt. Ich weiß jetzt also, wann der Zufluss am stärksten ist.

$\begin{eqnarray*} \frac{8-\sqrt{34} }{3} / f(\frac{8-\sqrt{34} }{3} ) \end{eqnarray*}$ ist der HP und der Zufluss ist hier am stärksten.

Ich weiß leider für die zweite Aufgabe nicht mehr weiter. Habe gerade schwierigkeiten mit der Stammfunktion von f(t). Da bräuchte ich ein Tipp, wie ich da ran gehen kann?

Weiterhin weiß ich nicht wie ich genau auf die gesuchte t komme [t;0]

22.03.2010, 23:16

Lampe16

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RE: Ableiten und Integrieren

Zitat:

Ich weiß leider für die zweite Aufgabe nicht mehr weiter. Habe gerade schwierigkeiten mit der Stammfunktion von f(t). Da bräuchte ich ein Tipp, wie ich da ran gehen kann?

Ich benutze eine Integraltabelle. Ansonsten gilt für das momentan Volumen die Lösung, die ich Dir vorhin gepostet habe.

Zitat:

[i]Weiterhin weiß ich nicht wie ich genau auf die gesuchte t komme [t;0]

Der Speicherinhalt ist maximal, wenn der Zufluss von positiven zu negativen Werten übergeht. Diesen Zeitpunkt setzt Du dann in die Lösung für das Volumen ein.
Gruß lampe16

22.03.2010, 23:24

Kathz

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RE: Ableiten und Integrieren
Wenn ich das richtig verstanden habe ist dan t= die Nullstelle der Funktion f(t), weil da der Zufluss vom positivem zum negativem also zur Abnahme übergeht.

so richtig?

Ja ich weiß leider immernoch nicht, wie die Stammfunktion lautet
Ich gebe mal etw. vor, was ich berechnet habe.

$\begin{eqnarray*} ( 10t - 3t²) \cdot e^{-t}=[(0,5 \cdot 0,1 \cdot 1/3)(10t - 3t²) \cdot (-e^{-t})] \end{eqnarray*}$

I.wie habe ich das Gefühl, dass das falsch ist.

22.03.2010, 23:43

Lampe16

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RE: Ableiten und Integrieren

Zitat:

Original von Kathz
Wenn ich das richtig verstanden habe ist dan t= die Nullstelle der Funktion f(t), weil da der Zufluss vom positivem zum negativem also zur Abnahme übergeht.

so richtig?

Ja!

Zitat:

Ja ich weiß leider immernoch nicht, wie die Stammfunktion lautet
Ich gebe mal etw. vor,

Ich habe dafür $\begin{eqnarray*} 10{\rm e}^{-t}-3{\rm e}^{-t}t^2 \end{eqnarray*}$ . Besser, Du überprüfst es durch Ableiten. Integraltabelle Ablesen ist eigentlich nicht schwierig.

Ich kann Dir heute keine Tipps mehr geben. Muss morgen früh 'raus
Gruß, lampe

22.03.2010, 23:45

Kathz

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RE: Ableiten und Integrieren
Bedanke mich herzlich smile

Hab es jetzt auch. Habe also meinen Fehler gefunden smile

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