Matrixberechnung

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Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixberechnung
Guten Abend miteinander!

Ich habe die Matrix

gegeben.

Wie berechnet man aber , OHNE die Matrix in diagonalisierbaren und nilpotenten Anteil zu zerlegen und OHNE die Jordan'sche Normalform zu berechnen?

Man weiss nur, dass das charakteristische Polynom ist.

Wie das Ergebnis dann aussehen wird, interessiert mich momentan eigentlich (gar) nicht, weil man sich das ja praktisch von jedem Rechenprogramm berechnen lassen kann.
Mich interessiert hier wirklich, wie das mit all den Einschränkungen gehen sollte..
Formelmonster Auf diesen Beitrag antworten »

Abend,

Hast Du es schon einmal mit dem Satz von Cayley-Hamilton versucht?
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hatte ich vor, mit Hilfe dieses Satzes die Matrix e^A zu berechnen..
Aber wie sähe das denn konkret aus?

Der Satz von C.-H. sagt ja, dass wenn p_A(x) über Q in Linearfaktoren zerfällt, dass dann p_A(x) = 0 ist.

Das heisst also, x ist 2 (auch Eigenwert (mit dreifacher alg. Vielfachheit)).
Was aber bringt das uns jetzt..zu berechnen ist ja

Besten Dank für die Hilfe!
Formelmonster Auf diesen Beitrag antworten »

Abend! Mit Satz von Cayley-Hamilton meinte ich eigentlich folgendes:

Zitat:
Aus der Wikipedia
Der Satz von Cayley-Hamilton (nach Arthur Cayley und William Rowan Hamilton) ist ein Satz aus der linearen Algebra. Er besagt, dass jede quadratische Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms ist.


Das heißt also . So direkt lässt sich das nicht nutzen, wenn wir jedoch folgende Umformung durchführen hilft uns das weiter, wenn wir A - 2I die Reihenentwiklung einsetzen:



Nach dem zweiten Glied bricht die Reihe also ab, da alle weiteren mit der Nullmatrix multipliziert werden. Jetzt musst Du nur noch die ersten drei Glieder von Hand ausrechnen und hast das Ergebnis!
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Wow! smile
Das ist ja super! smile
Eine Frage hätte ich allerdings noch:
Um das Endresultat zu erhalten, muss man den erhaltenen Ausdruck noch *e^2 rechnen, oder?

Wenn ich die Anfangsmatrix in ein Computerprogramm (zB Maple) schreibe und e^A berechnen lasse, so erhalte ich leider aber ein unterschiedliches Resultat...

(Maple errechnet: )
Formelmonster Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das Ergebniss muss man noch mit e² multiplizieren. Von Maple habe ich keine Ahnung. Ich habe den kram mal bei MATLAB eingegeben und bei mir klappt's:

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
>> A

A =

     2    -2    -1
    -1    -1    -2
     1     5     5

>> expm(A)

ans =

   11.0836  -11.0836   -3.6945
   -3.6945  -11.0836  -11.0836
    0.0000   29.5562   22.1672

>> exp(2)*( eye(3) + (A-2*eye(3)) + 0.5*(A-2*eye(3))*(A-2*eye(3)) )

ans =

   11.0836  -11.0836   -3.6945
   -3.6945  -11.0836  -11.0836
         0   29.5562   22.1672


Gute Nacht ....
 
 
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