flächenberechnung

23.03.2010, 14:06

apfelmus

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flächenberechnung

wenn man die fläche zwischen zwei graphen berechnen muss.ist man ja gezwungen die schnittpunkte dieser beiden graphen zu errechnen. kann man dann für weitere rechnungen die "vermischte" funktion ,die bei der schnittpunktrechnung auftaucht,benutzen?

23.03.2010, 14:35

klarsoweit

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RE: flächenberechnung
Wenn du noch verrätst, wie die "vermischte" Funktion aussieht, könnte man was Gerichtsverwertbares dazu sagen.

23.03.2010, 14:42

apfelmus

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z.b. ich hätte folgende graphen gegeben:
y= 5x-4 m=5x^2+4x

5x-4=5x^2+4x
0=5x^2-x-4

könnte ich dann mit dieser funktion die integrale ausrechnen?

23.03.2010, 15:08

klarsoweit

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Erstmal ist das keine Funktion, sondern eine Gleichung und dann hast du noch falsch umgeformt. Du kannst aber mit der Funktion $\begin{eqnarray*} h(x) = 5x^2 -x +4 \end{eqnarray*}$ die Integrale ausrechnen.

23.03.2010, 15:09

apfelmus

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dann kommt das gleiche raus wie als hätte ich die einzelnen graphen benutzt?

23.03.2010, 15:16

klarsoweit

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Nicht unbedingt. Du mußt ja für die Fläche von Schnittpunkt zu Schnittpunkt integrieren und dann von den jeweiligen Ergebnissen die Beträge aufaddieren.

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23.03.2010, 15:44

apfelmus

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welcher weg wäre den der richtige?

25.03.2010, 16:51

apfelmus

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keienr eine idee?

25.03.2010, 17:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von apfelmus
welcher weg wäre den der richtige?

Der, den ich beschrieben habe.

25.03.2010, 21:24

apfelmus

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aber ich könnte es auch mit den beiden ausgangsgraphen machen oder?
ist zwar mehr arbeit aber mir gehts nur ob das "möglich seiN"

25.03.2010, 23:34

Omicron

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Bei der Flächenberechnung unter zwei Graphen gibt es meines Wissens nach keinen anderen Weg, wie klarsoweit ihn beschrieben hat.

Am besten du zeichnest die beiden Graphen, oder du lässt sie dir zeichnen und versuchst dir nochmal klarzumachen, warum du den Schnittpunkt der beiden Funktionen berechnen musst.

26.03.2010, 13:08

Shalec

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hinweis:
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{a_n}^{b_n}{d(x)dx} \end{eqnarray*}$
hat doch zwei Punkte, von denen du dann das integral berechnest, ne?
welche punkte währen denn sinnvoll einzusetzen, wenn du den flächeninhalt zwischen zwei graphen berechnen willst?

zu beginn lernt ihr den flächeninhalt zwichen der x-achse und einem graphen zu berechnen, richtig? stell dir mal vor, die x-achse wäre ein weiterer graph, welche punkte nutzt du dort? Augenzwinkern

Augenzwinkern

und der richtige weg ist halt, wie schon beschrieben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n}{\int\limits_{a_k}^{a_{k+1}}{d(x)dx}} \end{eqnarray*}$

wobei n die anzahl der .... ist smile

smile

(ich hab mal gelesen - kann die quelle nicht mehr nennen -, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n}{\int\limits_{a_k}^{a_{k+1}}{d(x)dx}}=\int\limits_{a_k}^{a_{n}}{d(x)dx} \end{eqnarray*}$ ist, könnt eich mir jetzt ja selber versuchen zu beweisen, aber kann dem jemand zustimmen/gegensprechen?)

lg

26.03.2010, 13:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von Shalec
und der richtige weg ist halt, wie schon beschrieben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n}{\int\limits_{a_k}^{a_{k+1}}{d(x)dx}} \end{eqnarray*}$

wobei n die anzahl der .... ist smile

smile

Wie ich schon sagte, muß man $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{k=1}^{n}{\left | \int\limits_{a_k}^{a_{k+1}}{d(x)dx} \right |} \end{eqnarray*}$ berechnen.

Ich fürchte nur, daß apfelmus schon mit dem Summenzeichen überfordert ist.

Zitat:

Original von Shalec
(ich hab mal gelesen - kann die quelle nicht mehr nennen -, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n}{\int\limits_{a_k}^{a_{k+1}}{d(x)dx}}=\int\limits_{a_k}^{a_{n}}{d(x)dx} \end{eqnarray*}$ ist

Wenn, dann gilt dies: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n}{\int\limits_{a_k}^{a_{k+1}}{d(x)dx}} = \int\limits_{a_1}^{a_{n+1}}{d(x)dx} \end{eqnarray*}$

26.03.2010, 13:21

Mulder

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Zitat:

Original von Shaleckönnt eich mir jetzt ja selber versuchen zu beweisen, aber kann dem jemand zustimmen/gegensprechen?)

Das ist ja einfach nur die Additivität des Riemann-Integrals bezüglich des Integrationsbereiches. Allerdings stimmt es so, wie du es geschrieben hast, nicht. Du meinst wohl eher dies (bei dir stimmten die Integrationsgrenzen rechts nicht):

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \left ( \int\limits_{a_k}^{a_{k+1}} d(x) \, \dx \right ) = \int\limits_{a_1}^{a_{n+1}} d(x) \, \dx \end{eqnarray*}$

Und das ergibt sich wie gesagt aus der Additivität:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \left ( \int\limits_{a_k}^{a_{k+1}} d(x) \, \dx \right ) = \int\limits_{a_1}^{a_{2}} d(x) \, \, \dx + \int\limits_{a_2}^{a_{3}} d(x) \, \dx \, \, \, + \, ... \, \, + \int\limits_{a_{n}}^{a_{n+1}} d(x) \, \dx = \int\limits_{a_1}^{a_{n+1}} d(x) \, \dx \end{eqnarray*}$

26.03.2010, 21:57

Shalec

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Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von Shaleckönnt eich mir jetzt ja selber versuchen zu beweisen, aber kann dem jemand zustimmen/gegensprechen?)

Das ist ja einfach nur die Additivität des Riemann-Integrals bezüglich des Integrationsbereiches. Allerdings stimmt es so, wie du es geschrieben hast, nicht. Du meinst wohl eher dies (bei dir stimmten die Integrationsgrenzen rechts nicht):

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \left ( \int\limits_{a_k}^{a_{k+1}} d(x) \, \dx \right ) = \int\limits_{a_1}^{a_{n+1}} d(x) \, \dx \end{eqnarray*}$

Und das ergibt sich wie gesagt aus der Additivität:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \left ( \int\limits_{a_k}^{a_{k+1}} d(x) \, \dx \right ) = \int\limits_{a_1}^{a_{2}} d(x) \, \, \dx + \int\limits_{a_2}^{a_{3}} d(x) \, \dx \, \, \, + \, ... \, \, + \int\limits_{a_{n}}^{a_{n+1}} d(x) \, \dx = \int\limits_{a_1}^{a_{n+1}} d(x) \, \dx \end{eqnarray*}$

ja, genau so meinte ich das smile

smile

vielen dank, u.a. für den Beweis, hab den noch nicht gesehen, hätte es durch vollständige induktion versucht... ^^

28.03.2010, 23:42

apfelmus

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ich glaube ihr habt mich immer noch nicht verstanden. smile

smile

y= 5
m=2x^2+5x

5=2x^2+5x
0=2x^2+5x-5

nehmen wir mal an die schnittpunkte wären -2 und 5

klarsoweit würd es so machen:
$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{5} \!2x^2+5x-5 \, dx \end{eqnarray*}$

ich hätte es so gemacht

$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{5} \! 5 \, dx -\int_{-2}^{5} \!2x^2+5x \, dx \end{eqnarray*}$
würde es auch gehen?

29.03.2010, 00:06

DarkD

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$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{5} \! 5 \, dx -\int_{-2}^{5} \!2x^2+5x \, dx = \int_{-2}^{5} 5 - (2x^2 + 5x) dx = \int_{-2}^{5} 5 - 2x^2 - 5x dx = \int_{-2}^{5} - 2x^2 - 5x +5dx = -\left( \int_{-2}^{5} 2x^2 + 5x - 5dx \right) \end{eqnarray*}$

Bis auf ein Vorzeichen kommt also dasselbe raus.
Die Linearität des Integrals wurde hier mehrfach ausgenutzt. Ich hoffe ihr hattet das schon. Ansonsten sollten genug Zwischenschritte drin sein, sodass das nachvollziehbar ist.

29.03.2010, 08:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von apfelmus
nehmen wir mal an die schnittpunkte wären -2 und 5

Irgendwie finde ich es merkwürdig, bei einer konkreten Aufgabe Dinge anzunehmen, die überhaupt nicht stimmen.

Zitat:

Original von apfelmus
klarsoweit würd es so machen:
$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{5} \!2x^2+5x-5 \, dx \end{eqnarray*}$

Und wenn schon, dann würde ich es so machen:
$\begin{eqnarray*} | \int_{-2}^{5} \!2x^2+5x-5 \, dx | \end{eqnarray*}$

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