Präkompakte Menge?

23.03.2010, 15:25

BanachraumK_5

Präkompakte Menge?

Liege ich richtig in der Annahme das die Menge der reellen Zahlen präkompakt ist?

Bei Bedarf poste ich nochmal Definition und Beweis.

Könnt ihr mir weitere Beispiele für präkompakte Mengen geben?

Wo liegt denn genau der Vorteil wenn ich weiß das eine Menge präkompakt ist?

23.03.2010, 15:34

giles

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Nein, wären die reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} ( \mathbb{R},|\cdot |) \end{eqnarray*}$ auch präkompakt so sind sie dank ihrer Vollständigkeit auch direkt kompakt, was sie evidenterweise nicht sind.

Jede kompakte Menge wäre auch präkompakt. Suchst du Beispiele für Mengen die NUR präkompakt sind?

23.03.2010, 16:05

BanachraumK_5

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$\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ heißt präkompakt wenn $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ eine endliche Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \subset X \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} X = B_{\varepsilon}(M) \end{eqnarray*}$ .

Sei beispielsweise $\begin{eqnarray*} \varepsilon = 2 \end{eqnarray*}$ , dann gilt doch mit $\begin{eqnarray*} M := \{ 0, -1, +1, -2, +2, -3, +3, .... \} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B_{\varepsilon = 2}(M) = X = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . ???

23.03.2010, 16:09

gonnabphd

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Zitat:

Original von BanchraumK_5
... endliche Teilmenge ...

23.03.2010, 16:23

giles

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http://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4kompakt
Vielleicht bist du mit der Definition etwas durcheinandergekommen?
Du bist im metrischen Raum $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ? Ok, für jede Überdeckung aus epsilon-Kugeln muss es endlich viele Kugeln der Überdeckung geben, so dass X immer noch überdeckt wird.
Für $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ kann man leicht ein Gegenbeispiel konstruieren:

$\begin{eqnarray*} B(x,\frac{11}{10})=\left\{ y \in \mathbb{R} | \frac{11}{10}>|x-y|\right\} \end{eqnarray*}$

dann

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{z\in \mathbb{Z}}B(z,\frac{11}{10}) \supset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

aber es gibt nicht endlich viele $\begin{eqnarray*} z\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ so dass es noch überdeckt wäre.

23.03.2010, 17:55

BanachraumK_5

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Sei $\begin{eqnarray*} A \subset X \end{eqnarray*}$ präkompakt dann gilt folgendes:

Für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ existieren Mengen $\begin{eqnarray*} A_1, A_2, ...., A_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A \subset \bigcup_{i = 1}^{n} A_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sup \Vert x - y \Vert \leq \varepsilon \ x, y \in A_i \ i = 1,..,n \end{eqnarray*}$

Dann folgt doch sofort das A beschränkt ist wegen $\begin{eqnarray*} diam(A) \leq \sum\nolimits_{i=1}^n diam(A_i) \leq n \cdot \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Sehe ich das richtig?

23.03.2010, 18:24

giles

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Man nennt präkompakt schließlich auch "totalbeschränkt" Augenzwinkern

24.03.2010, 14:26

BanachraumK_5

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Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ kann man leicht ein Gegenbeispiel konstruieren: $\begin{eqnarray*} B(x,\frac{11}{10})=\left\{ y \in \mathbb{R} | \frac{11}{10}>|x-y|\right\} \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \bigcup_{z\in \mathbb{Z}}B(z,\frac{11}{10}) \supset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ aber es gibt nicht endlich viele $\begin{eqnarray*} z\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ so dass es noch überdeckt wäre.

Folgt dann automatisch die Inseparabilität? Ich meine damit du hast zwar ein Gegenbeispiel für $\begin{eqnarray*} \varepsilon = (11/10) \end{eqnarray*}$ gegeben. Kann es denn nicht sein dass eine andere Menge existieren könnte die sich durch endlich viele $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ Kugeln überdecken lässt?

24.03.2010, 23:26

giles

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Tatsächlich gilt es in meiner Konstruktion für beliebige $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ dass es sich nicht überdecken lässt. Ich hatte nur 11/10 gewählt, da man so nicht mal ein einziges weglassen kann (für $\begin{eqnarray*} \varepsilon>2 \end{eqnarray*}$ könnte man ja schon jedes zweite weglassen).

Wie kommst du jetzt auf Separabilität? verwirrt

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist doch separabel.
Was meinst du mit "andere Menge existieren könnte"?

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