Kern berechnen

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23.03.2010, 15:56	Unrockstar	Auf diesen Beitrag antworten »
Kern berechnen Edit (mY+): Hilfe-Ersuchen in der Überschrift bitte weglassen! Entfernt. also ich habe hier eine kleine frage und zwar ich soll in einer aufgabe einmal den Kern A , Kern B und Kern A + Kern B berechnen. Kern A und Kern B hab ich richtig meine frage ist nun wie rechnen ich Kern A + Kern B aus? addiere ich beide Matrizen zusammen oder schreibe ich beide Matrizen untereinander? sprich wenn ich eine 3X4 matrix und eine 4X4 matrix habe mache ich daraus eine 7X4 matrix? so is das zumindesten bei dim(a+b)^^ bitte um hilfe
23.03.2010, 16:14	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Für zwei Untervektorräume $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ eines Vektorraums $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} U+W \end{eqnarray}$ üblicherweise zu verstehen als das Erzeugnis von $\begin{eqnarray} U\cup W \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \langle U\cup W \rangle \end{eqnarray}$ oder auch öfters geschrieben als $\begin{eqnarray} \operatorname{span}(U\cup W) \end{eqnarray}$ .
23.03.2010, 16:17	Unrockstar	Auf diesen Beitrag antworten »
somit also die beiden matrizen untereinander geschrieben richtig?
23.03.2010, 16:23	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Jester hat doch bereits geschrieben, was du machen musst. $\begin{eqnarray} ker A=U \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ker B =W \end{eqnarray}$ Dabei sind $\begin{eqnarray} U,W \end{eqnarray}$ Untervektorräume $\begin{eqnarray} ker A + ker B = U+W=span(U\cup W) \end{eqnarray}$
23.03.2010, 16:26	Unrockstar	Auf diesen Beitrag antworten »
also die matrizen untereinander geschrieben oder? schreibt doch einfach ja oder nein^^
23.03.2010, 16:30	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ehrlich gesagt: Von "Matrizen untereinander schreiben" habe ich noch nie etwas gehört. Aber theoretisch sollte jetzt die Bestimmung von $\begin{eqnarray} ker A +ker B \end{eqnarray}$ nicht weiter schwierig sein. Ist es möglich, dass du dein Ergebnis mal schnell postest?
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23.03.2010, 16:37	Unrockstar	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich schreibs mal schnell auf ohne latex zu benutzen A= ( 1,2,0,3),(1,2,2,7)(3,6,1,11) B=(1,1,0,2),(2,3,1,7),(1,4,1,7),(0,1,0,1) davon kernA + Kern B also es sind matrizen untereinander geschrieben das sollte klar sein
23.03.2010, 16:42	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, ich hoffe ich verstehe das jetzt richtig. $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ sind deine gegebenen Matrizen. Deren Kern bekommt man raus, indem man einfach das homogene Gleichungssystem löst. Das hast du ja bereits. So, die Lösungsvektoren spannen ja den Unterraum $\begin{eqnarray} ker A \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} ker B \end{eqnarray}$ auf. Und genau diese Vektoren bilden dann auch $\begin{eqnarray} ker A+ker B \end{eqnarray}$ . Du musst nur schauen, ob diese evtl. linear abhängig voneinander sind.
23.03.2010, 16:49	Unrockstar	Auf diesen Beitrag antworten »
okay pass auf ich hab folgendes raus für kern A = t(-2,1,0,0)+s(-3,0,-2,1) für kern B = t*(-1,-1,-2,1) also schaue ich nun ob diese 3 vektoren linear abhängig sind was ist wenn sie es sind?
23.03.2010, 16:52	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, wenn dies so wäre, dann könntest dder drei Vektoren durch zwei andere darstellen. Somit gehört dieser eine Vektor nicht mehr zu denen, die den Raum $\begin{eqnarray} U+W \end{eqnarray}$ aufspannen. Bei dir tritt so ein Fall sogar auf. Dein letzter Vektor lässt sich durch Addition der ersten beiden darstellen. Somit ist $\begin{eqnarray} ker A + ker B = ker A \end{eqnarray}$
23.03.2010, 16:55	Unrockstar	Auf diesen Beitrag antworten »
könntest du dein ergebnis dazu mal posten? ich bin grade bissl überfordert -.-
23.03.2010, 17:07	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, also $\begin{eqnarray} ker A = span\left(\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ker B =span\left(\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray}$ Nun ist $\begin{eqnarray} ker A + ker B =span(ker A \cup ker B) \end{eqnarray}$ Also verdeutlich gesprochen der Raum, den die beiden Kerne aufspannen, wenn man sie vereinigt. Nun siehst du aber sofort, dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}=(\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Somit lässt sich der Spann, den die beiden Raume aufspannen durch die beiden Vektoren rechts vom Gleichheitszeichen darstellen. Also $\begin{eqnarray} ker A + ker B=span\left(\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray}$ Ich hoffe das ist soweit verständlich. MAn kann sich das auch meist ganz gut geometrisch klar machen. Zwar nicht im vierdimensionalen Raum...aber so prinzipiell.

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