Wahrscheinlichkeitsdichte & Verteilungsfunktion

24.03.2010, 11:16

_Seeker_

Wahrscheinlichkeitsdichte & Verteilungsfunktion

Hi!

Ich schlage mich gerade ein wenig mit dem Verständnis von Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion herum...
Ich habe auf vielen Seiten bzw. in Foren Erklärungen gefunden... allerdings oft leicht andere, was mich ein wenig verwirrt Augenzwinkern

.

Soviel glaube ich herausgefunden zu haben:
$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ = Menge aller möglichen Ereignisse ( $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ) eines Experimentes
Eine Zufallsvariable X ist eine Funktion, die jedem $\begin{eqnarray*} \omega \in \Omega \end{eqnarray*}$ einen reellen Wert x zuteilt.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist die Ableitung der Verteilungsfunktion.

Was mich noch verwirrt:
Def. der Wahrscheinlichkeitsdichte:
$\begin{eqnarray*} P({\omega :a<X(\omega )<b})=\int_{a}^{b}f_{X}(t))dt \end{eqnarray*}$
Diese Definition gilt ja glaubs nur, wenn es überabzählbar viele Ereignisse gibt. Insofern verstehe ich das, dass diese Formel nicht zur Berechnung einer genauen Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann (d.h. im Stil von P(X( $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ )=?), da dann das Integral einfach Null geben würde. Gleichzeitig verwirrt mich dieser Fakt eben... WAS genau drückt diese Wahrscheinlichkeitsdichte aus?
Kann man die Dichte also nur bei stetigen Wahrscheinlichkeitsexperimenten durchführen?
Was wäre ein Beispiel eines solchen Experimentes?

Def. der Verteilungsfunktion:
a) $\begin{eqnarray*} F_{X}(x)=P(X(\omega))\leq x) \end{eqnarray*}$
Daraus abgeleitet folgt:
b) $\begin{eqnarray*} P(a<X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)=F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$

Doch das ist ja im Prinzip die genau gleiche Aussage wie bei der Wahrscheinlichkeitsdichte...
Ist die Wahrscheinlichkeitsdichte als einfach definiert als die Ableitung derjenigen Funktion, für die a) gilt?
Was mich hier verwirrt, ist, dass auf Wikipedia als Beispiel dann die Anwendung auf ein Würfel gezeigt wird... was ja ein diskretes Experiment mit sehr gut abzählbaren Ereignissen ist... liegt es einfach daran, dass die Verteilung beim Würfel "Sprungartig" immer 1/6 ist? Das erklärt mir aber noch nicht, wie ich dies zwar mit einer Verteilungsfunktion berechnen kann... aber nicht mit dem Integral der Wahrscheinlichkeitsfunktion (was ja das gleiche ist... verwirrt

)?

Naja... genug gelabert... wie ihr seht besteht irgendwo noch ein grosser Knopf voller Verwirrung =D.
Ich suche nicht wirkliche hochmathematische Beweise... eher eine Idee, wie ich mir die verschiedenen Dinge und ihre Zusammenhänge vorstellen kann =).

Vielen Dank im Voraus! smile

lg Seeker

24.03.2010, 12:14

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Zitat:

Original von _Seeker_
Kann man die Dichte also nur bei stetigen Wahrscheinlichkeitsexperimenten durchführen?

So ist es.

Zitat:

Original von _Seeker_
Ist die Wahrscheinlichkeitsdichte als einfach definiert als die Ableitung derjenigen Funktion, für die a) gilt?

Nicht ganz: Die Wahrscheinlichkeitsdichte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion derart, dass für die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int\limits_{-\infty}^x ~ f(t) ~ \dd t \qquad (*) \end{eqnarray*}$

für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt. Das ist nicht dasselbe wie $\begin{eqnarray*} F'(x) = f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , sondern das muss nur für fast alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gelten. Tatsächlich kann $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ an den Ausnahmestellen ggfs. gar nicht differenzierbar sein.

Dass das kein exotisches Konstrukt ist, zeigt eine der wichtigsten stetigen Verteilungen überhaupt: Die stetige Gleichverteilung auf [0,1]. Deren Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; x<0 \\ x & \;\mbox{für}\; 0\leq x\leq 1 \\ 1 & \;\mbox{für}\; x>1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

ist an den Stellen $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar. Dennoch ist

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; x<0 \\ 1 & \;\mbox{für}\; 0\leq x\leq 1 \\ 0 & \;\mbox{für}\; x>1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

eine zugehörige Dichte, weil ja (*) erfüllt ist. Eine andere ebenfalls mögliche Dichte ist aber auch

$\begin{eqnarray*} \tilde{f}(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; x\leq 0 \\ 1 & \;\mbox{für}\; 0 < x\leq 1 \\ 0 & \;\mbox{für}\; x>1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

und noch viele mehr. D.h., die Dichte ist nicht eindeutig festgelegt, sondern nur fast überall.

Zur Benennung: Zufallsgrößen mit stetiger Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ nennt man stetig. Existiert eine Dichte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gemäß (*), so nennt man die zugehörige Zufallsgröße korrekterweise eigentlich absolutstetig.

Jede absolutstetige Zufallsgröße ist auch stetig, aber die Umkehrung gilt nicht. Sollte man aber nicht gerade Mathematiker bzw. Mathematikstudent sein, dann wird einem aber kaum jemals eine stetige, nicht absolutstetige Zufallsgröße begegnen, denn die sind wirklich exotisch. Augenzwinkern

Das Würfelbeispiel ist unpassend, denn dort hat die Verteilungsfunktion Sprünge - wie bei jeder diskreten Zufallsgröße - also ist die Verteilungsfunktion unstetig und damit gibt es kein (klassische) Dichte für diese Zufallsgröße.

P.S.: Deine Eigenschaften a) und b) gelten übrigens für jede Zufallsgröße, nicht nur stetige.

25.03.2010, 09:40

_Seeker_

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Danke vielmals! Freude

Hat mir schon echt geholfen =).

Das F(x) ist also auch nicht die Stammfunktion von f(x), oder? Grob gesagt ist F(x) eine Funktion, die die Fläche unter f(x) mit variablem upper bound ausdrückt?
Ich wurde dann einfach durch die Schreibweise F(x) und f(x) irregeführt =).

Was noch nicht ganz kapiere, ist folgende Aussage (ebenfalls von Wiki):

Zitat:

Die Verteilungsfunktion F erhält man als Integral über die Dichtefunktion. (Das ist jetzt klar).
Umgekehrt gilt: Wenn die Verteilungsfunktion F absolut stetig ist (eine hinreichende Voraussetzung hierfür ist Differenzierbarkeit mit berschränkter Ableitung), ist ihre Ableitung eine Dichtefunktion der zugehörigen Verteilung.

$\begin{eqnarray*} f(x)=F'(x)=\frac{\mathrm{d} F(x)}{\mathrm{d} x} \end{eqnarray*}$

Dies gilt auch dann noch, wenn es abzählbar viele Stellen x gibt, an denen F stetig, aber nicht differenzierbar ist; welche Werte man an diesen Stellen für f(x) verwendet, in unerheblich.

Vielleicht ist meine Definition von der Ableitung einfach falsch...
Eine Ableitung ist doch die Funktion, die für den ganzen Definitionsbereich die Steigung angibt? Dein Beispiels - F(x) ist ja für z.B für x=0 definiert, aber nicht differenzierbar. Dennoch würde der obrige Satz bedeuten, dass F'(x)=f(x), was aber ja nicht für alle x der Fall ist?

Ich habe irgendwie noch Mühe, mir vorzustellen, was die Wahrscheinlichkeitsdichte ausdrückt. Ist es eine rein rechnerische Funktion... oder gibt es da eine praktische Anschauung?

Gruss Seeker

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