Topologie im metrischen Raum

24.03.2010, 11:59

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

Topologie im metrischen Raum

Hallo zusammen!

folgende Aufgabenstellung:

Es sei X eine nichtleere Menge und d die diskrete Metrik auf X. Bestimme alle offenen und abgeschlossenen Mengen von X.

..ich weiss nicht, wie ich hier strukturiert vorgehen soll. vielleicht könnte mir jemand ein wenig auf die Sprünge helfen! ich wäre euch sehr dankbar.

mit liebem Gruss

eisley

24.03.2010, 12:14

sergej88

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wie sieht die diskrete Metrik den aus?
Und dann mach dir am besten Gedanken wie eine offene Kugel mit Radius Epsilon aussieht. Damit kannst du dann anschliessend die offenen Mengen in diesem Raum charakterisieren.

mfg

24.03.2010, 12:39

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ja.. sorry. Die Info ist oben allgemein für die ganze Übungsserie gegeben:

$\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ versehen mit der euklidischen Metrik

$\begin{eqnarray*} d(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^{2}+ ... +(x_n-y_n)^{2}} \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} x=(x_1, ... , x_n), y=(y_1, ..., y_n) \in \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$

Eine Menge U heisst also offen, wenn sie für jeden ihrer Punkte eine Umgebung ist, d.h. wenn zu jedem $\begin{eqnarray*} a\in U \end{eqnarray*}$ eine "Epsilon-Kugel" existiert, die vollständig in U enthalten ist.

d.h. ich muss zeigen, warum die offene Kugel (die Epsilon-Umgebung) eines Punktes a stets offen ist? das ist ja nicht sonderlich schwierig.

und abgeschlossen:

Eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X heisst abgeschlossen, wenn das Komplement $\begin{eqnarray*} A^{C} = X / A \end{eqnarray*}$ offen ist.

Würde es so allgemein als Lösung reichen.. was denkst du?

lieben Dank

eisley

24.03.2010, 13:36

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sprichst du in deinem ersten Beitrag von der diskreten Metrik und kommst dann im zweiten Beitrag mit der euklidischen Metrik?
Handelt die Aufgabe nun von der diskreten oder der euklidischen Metrik?

Die diskrete Metrik $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ auf einer Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} d(x,y) = \begin{cases} 0 & \text{falls} \ x=y \\ 1 & \text{falls} \ x \neq y \end{cases} \end{eqnarray*}$

24.03.2010, 13:38

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

weil es auf dem Übungsblatt so angegeben ist.

..wohl aber nicht für diese Aufgabe gilt, wäre ja wirklich sinnlos.
aber wäre das Vorgehen, um alle die gesuchten Mengen zu bestimmen, an sich korrekt?

24.03.2010, 13:49

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde so beginnen: Überlege zuerst, wie die $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebungen eines Punktes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bei der diskreten Metrik aussehen. Welche Fallunterscheidung bezüglich $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist da wohl durchzuführen?

Und daß eine $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung in einem metrischen Raum selbst offen ist, gilt in jedem metrischen Raum und muß nicht extra nachgewiesen werden.

Anzeige

24.03.2010, 14:29

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

ach.. ich hab übersehen, dass bei einem diskreten Raum für jeden Punkt x die Menge {x} offen und abgeschlossen ist !

dann kann man alle Mengen von X beschreiben durch

a) die triviale Teilmenge:

$\begin{eqnarray*} U:=\left\{ \right\} \end{eqnarray*}$

b) alle anderen Mengen:

$\begin{eqnarray*} U:= \left\{ {y \in X | d(x,y) < \frac{1}{2} }\right\} \end{eqnarray*}$

und damit folgt - wie vorausgesetzt - $\begin{eqnarray*} U(x) = {x} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

24.03.2010, 15:03

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von eisley
ach.. ich hab übersehen, dass bei einem diskreten Raum für jeden Punkt x die Menge {x} offen und abgeschlossen ist !

Das ist richtig. Aber die die Einermengen sind nicht die einzigen nichtleeren, echten Teilmengen, die offenen sind. Erinnere Dich mal an die Topologie-Axiome.

24.03.2010, 15:31

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

ich blick nicht durch unglücklich

unglücklich

24.03.2010, 15:37

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt, dass jede Einermenge offen ist. Was ist nun mit den Vereinigungen endlich vieler Einermengen? Was ist mit den Vereinigungen beliebig vieler Einermengen?

24.03.2010, 15:49

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

..endliche Durchschnitte sowie beliebige Vereinigungen solcher Einermengen sind ebenfalls offen.

24.03.2010, 19:16

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist jede Teilmenge von X ...

24.03.2010, 19:47

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

ich hab die Aufgabe schon fertig gelöst. danke an alle, die mitgeholfen haben !

24.03.2010, 19:54

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann stell doch bitte deine Lösung hier rein.

24.03.2010, 21:44

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

Definiere Epsilon > 0 (hier e genannt), und ein $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_e:= \left\{ p\in M; d(x,p) < e\right\} \end{eqnarray*}$

In einem metrischen Raum sind e-Umgebungen immer offen. Im Spezialfall der diskreten Metrik kann man zeigen

- $\begin{eqnarray*} e\geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} B_e(x) = M \end{eqnarray*}$
- für 0 < e < 1 gilt: $\begin{eqnarray*} B_e (x) = \left\{ x\right\} \end{eqnarray*}$

wählt man also bspw. $\begin{eqnarray*} e= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , so gilt:

$\begin{eqnarray*} B_\frac{1}{2}(x) = \left\{ x\right\} \end{eqnarray*}$ ; diese Mengen sind offen.

also ist jede einpunktige Menge offen.

Nun sei A c M eine beliebige Teilmenge von M. Es soll gezeigt werden, dass A offen ist; es sei $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ beliebig, dann gilt

$\begin{eqnarray*} B_\frac{1}{2}(x) = \left\{ x\right\} \subset A \end{eqnarray*}$ ; somit ist A offen.

Jetzt sei B eine beliebige Teilmenge von M, man soll zeigen, dass B abgeschlossen ist.
Da jede Teilmenge, nach dem vorher gezeigten, offen ist, ist X/B offen, und per Definition ist dann B abgeschlossen.

25.03.2010, 01:59

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von eisley

Nun sei A c M eine beliebige Teilmenge von M. Es soll gezeigt werden, dass A offen ist; es sei $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ beliebig, dann gilt

$\begin{eqnarray*} B_\frac{1}{2}(x) = \left\{ x\right\} \subset A \end{eqnarray*}$ ; somit ist A offen.

Ja. Etwas näher an den Axiomen kann man aber auch wie folgt argumentieren: Wir wissen bis zu dieser Stelle, dass jede Einermenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ offen ist. Jede Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist natürlich eine beliebige Vereinigung von Einermengen und daher offen.

Zitat:

Original von eisley
Jetzt sei B eine beliebige Teilmenge von M, man soll zeigen, dass B abgeschlossen ist.
Da jede Teilmenge, nach dem vorher gezeigten, offen ist, ist X/B offen, und per Definition ist dann B abgeschlossen.

Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} X \backslash B \end{eqnarray*}$ , dann ist es richtig.

25.03.2010, 08:07

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

ja.. sorry, kleiner "Tippfehler" ..

Danke !!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »