Ableitung mittels Differenzquotient

24.03.2010, 11:23

Student2010

Ableitung mittels Differenzquotient

Hallo!

Ich soll die ableitung folgender Funktion auf direktem Wege mittels Differenzquotient bilden:

x^{\frac{2}{3} }

Folgendes habe ich bislang: $\begin{eqnarray*} Differenzquotient: \frac{(x+\lambda x)^{2/3} -x^{\frac{2}{3} } }{\lambda x} \end{eqnarray*}$

Jetzt verwirrt, dass ich keinen ganzzahligen Exponenten habe...Zuvor hatte ich den Ausdruck im Zähler immer mittels dem Binomischen Lehrsatz errechnet...Wie gehe ich im Zähler weiter vor?

24.03.2010, 11:25

Student2010

Auf diesen Beitrag antworten »

Kleiner Fehler, die Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} y=x^{\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$

24.03.2010, 11:34

Mathewolf

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} Differenzquotient: \frac{(x+\lambda x)^{2/3} -x^{\frac{2}{3} } }{\lambda x} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht der Differentialquotient.

Dieser lautet

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ .

24.03.2010, 11:37

Student2010

Auf diesen Beitrag antworten »

Seltsam, steht so bei mir im buch (Papula)

24.03.2010, 11:48

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung mittels Differenzquotient

Zitat:

Original von Student2010
Folgendes habe ich bislang: $\begin{eqnarray*} Differenzquotient: \frac{(x+\lambda x)^{2/3} -x^{\frac{2}{3} } }{\lambda x} \end{eqnarray*}$

Vielleicht meinst du dieses:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x + \Delta x)^{2/3} -x^{\frac{2}{3} } }{\Delta x} \end{eqnarray*}$

Dann würde es passen.

24.03.2010, 11:49

Mathewolf

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du

$\begin{eqnarray*} Differenzquotient: \frac{(x+\lambda x)^{2/3} -x^{\frac{2}{3} } }{\lambda x} \end{eqnarray*}$

etwas umschreibst und $\begin{eqnarray*} \lambda x=:h \end{eqnarray*}$ nennst, kommst du zur "h-Methode"

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h \end{eqnarray*}$ .

Hier wurde $\begin{eqnarray*} x:=x_0+h \end{eqnarray*}$ gesetzt.

Der obige Term ist zum Differentialquotienten equivalent. Es wurde nur $\begin{eqnarray*} h:=x-x_0 \end{eqnarray*}$ gesetzt.

edit: Klarsoweit war schneller.

24.03.2010, 11:52

Student2010

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Mathewolf genau diesen Ausdruck meinte ich. Im Buch steht halt statt h delta x. Ok, vielleicht kannst du mir helfen, den Klammerausdruck im Zähler mit den hoch 2/3 zu lösen. Da bin ich mir nämlich nicht gnaz sicher wie ich vorgehen muss.

24.03.2010, 12:06

Mathewolf

Auf diesen Beitrag antworten »

Auf die Schnelle fällt mir da momentan leider auch nichts G'scheites ein. Vielleicht hat Klarsoweit einen Tipp.

Ich werde da noch etwas knobeln.

24.03.2010, 12:07

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung mittels Differenzquotient

Zitat:

Original von Mathewolf
Vielleicht hat Klarsoweit einen Tipp.

Bin ja schon da. Augenzwinkern

Erstmal 3. binomische Formel: $\begin{eqnarray*} (x + \Delta x)^{2/3} - x^{\frac{2}{3}} = ((x + \Delta x)^{1/3} + x^{\frac{1}{3}}) \cdot ((x + \Delta x)^{1/3} - x^{\frac{1}{3}}) \end{eqnarray*}$

Dann mit $\begin{eqnarray*} (x + \Delta x)^{2/3} + (x + \Delta x)^{1/3} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$ erweitern.

24.03.2010, 12:19

Student2010

Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, das verwirrt mich jetz schon ein bisschen...Kann die einzelnen Schritte nicht so ganz nachvollziehen

24.03.2010, 12:28

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja auch egal. Hauptsache man kommt ans Ziel. Für Schulmathe ist das auch schon etwas anspruchsvoll. smile

24.03.2010, 12:42

Student2010

Auf diesen Beitrag antworten »

Also in der aufgabe steht ja "auf kurzem Wege".

Würde es da nicht reichen, einfach zu schreiben, dass die Ableitung lautet:

y´= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$

?

24.03.2010, 12:57

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung mittels Differenzquotient
Ich weiß ja nicht, was original in der Aufgabe steht. Du hast jedenfalls das geschrieben:

Zitat:

Original von Student2010
Ich soll die ableitung folgender Funktion auf direktem Wege mittels Differenzquotient bilden:

Und Differenzenquotient ist und bleibt eben Differenzenquotient.

28.03.2010, 16:33

Golfer

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey klarsoweit, könntest du mal bitte deine Ausführungen zu Ende bringen, ich bin nämlich auch sehr an einer Lösung dieses Problems interessiert.

Danke schonmal
Chris

29.03.2010, 06:27

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Nöö, das wesentliche ist gesagt, rechnen darfst du selbst.
Falls du noch konkrete Fragen hast, stelle sie.

Neue Frage »

Antworten »

Ableitung mittels Differenzquotient

Verwandte Themen