Reihenaufgabe

24.03.2010, 12:30

MatheNull0520

Reihenaufgabe

Guten Tag zusammen...

hätte da mal eine Frage bezüglich einer Reihe, die auf Konvergenz oder Divergenz zu untersuchen ist ...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \left(\sqrt[k]{fak(2n)} / 5^{n} \right) \end{eqnarray*}$

fak entspricht der fakultät von 2n, keine ahnung wo das Formelzeichen dafür ist war Augenzwinkern

Welches Kriterium ist hier am sinnvollsten ? Ich nehme mal an das Vergleichskriterium...

vielen dank für eure Hilfe schon einmal !!

24.03.2010, 12:43

Bullet1000

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Quotientenkriterium, würde ich meinen.

24.03.2010, 12:49

jester.

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sqrt[k]{(2n)!}}{5^n} = \frac{1}{5^n}\sum_{k=1}^\infty \underbrace{\sqrt[k]{(2n)!}}_{=:a_n} \end{eqnarray*}$

Betrachte nun $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und stelle fest, dass es keine Nullfolge ist.

24.03.2010, 13:47

MatheNull0520

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Sorry...da war ein Fehler drinne !!! Alle n müssen durch k ersetz werden...so wie unten jetzt Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \left(\sqrt[k]{fak(2k)} / 5^{k} \right) \end{eqnarray*}$

fak entspricht der fakultät von 2k, keine ahnung wo das Formelzeichen dafür ist war Augenzwinkern

bitte um neue vorschläge Augenzwinkern

trotzdem schonmal danke

24.03.2010, 14:13

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Hier hilft das Wurzelkriterium, verbunden mit einer groben, aber ausreichenden Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\frac{\sqrt[k]{(2k)!}}{5^k}} = \frac{(2k!)^{1/k^2}}{5} < \frac{\left( (2k)^{2k} \right) ^{1/k^2}}{5} = \ldots \end{eqnarray*}$

24.03.2010, 14:13

Kühlkiste

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Zitat:

Original von MatheNull0520
Sorry...da war ein Fehler drinne !!! Alle n müssen durch k ersetz werden...so wie unten jetzt Augenzwinkern

bitte um neue vorschläge Augenzwinkern

trotzdem schonmal danke

Es geht also um:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt[n]{(2n)!}}{ 5^n}. \end{eqnarray*}$

Mit Hilfe des (bekannten?) Grenzwertes

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}n=\frac 1e \end{eqnarray*}$

solltest Du eine konvergente Majorante finden können.

24.03.2010, 14:22

MatheNull0520

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Hier hilft das Wurzelkriterium, verbunden mit einer groben, aber ausreichenden Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\frac{\sqrt[k]{(2k)!}}{5^k}} = \frac{(2k!)^{1/k^2}}{5} < \frac{\left( (2k)^{2k} \right) ^{1/k^2}}{5} = \ldots \end{eqnarray*}$

die abschätzung Fak(2k) < (2k)^2k ist mir neu...

und wie würde es jetzt weiter gehen ??!? ich komm da einfach im mom nicht weiter.

mfg und danke

24.03.2010, 14:24

MatheNull0520

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Zitat:

Original von Kühlkiste

Zitat:

Original von MatheNull0520
Sorry...da war ein Fehler drinne !!! Alle n müssen durch k ersetz werden...so wie unten jetzt Augenzwinkern

bitte um neue vorschläge Augenzwinkern

trotzdem schonmal danke

-> wie soll ich denn da die bekannte abschätzung einbringen ? 5^n ist ja nicht gleich n ?!?

24.03.2010, 14:31

Kühlkiste

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Zitat:

Original von MatheNull0520
-> wie soll ich denn da die bekannte abschätzung einbringen ? 5^n ist ja nicht gleich n ?!?

Gut beobachtet. Augenzwinkern

Deshalb baust Du Dir den Summanden einfach so um, dass es passt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[n]{(2n)!}}{ 5^n}=\left( \frac{\sqrt[2n]{(2n)!}}{2n} \right)^2 \cdot \frac{4n^2}{5^n} \end{eqnarray*}$

24.03.2010, 14:37

MatheNull0520

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Zitat:

Original von Kühlkiste

Zitat:

Original von MatheNull0520
-> wie soll ich denn da die bekannte abschätzung einbringen ? 5^n ist ja nicht gleich n ?!?

Gut beobachtet. Augenzwinkern

Deshalb baust Du Dir den Summanden einfach so um, dass es passt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[n]{(2n)!}}{ 5^n}=\left( \frac{\sqrt[2n]{(2n)!}}{2n} \right)^2 \cdot \frac{4n^2}{5^n} \end{eqnarray*}$

und das soll man als normalsterblicher einfach so sehen ^^ ?!?

24.03.2010, 14:45

MatheNull0520

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Zitat:

Original von MatheNull0520

Zitat:

die abschätzung Fak(2k) < (2k)^2k ist mir neu...

und wie würde es jetzt weiter gehen ??!? ich komm da einfach im mom nicht weiter.

mfg und danke

Bleiben wir bei diesem Ansatz...der gefällt mir eigentlich schon ganz gut. Ist nur noch die Frage wie es jetzt weitergehen würde Augenzwinkern

hier irgendwelche Vorschläge ???

24.03.2010, 15:12

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Entschuldigung, ich habe mich oben verschrieben:

Statt $\begin{eqnarray*} (2k!)^{1/k^2} \end{eqnarray*}$ meine ich natürlich $\begin{eqnarray*} ((2k)!)^{1/k^2} \end{eqnarray*}$ .

Die verwendete Abschätzung sollte doch klar sein:

$\begin{eqnarray*} (2k)! = \underbrace{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (2k)}_{\mbox{genau $2k$ Faktoren}} < \underbrace{(2k)\cdot (2k)\cdot \ldots \cdot (2k)}_{\mbox{genau $2k$ Faktoren}} = (2k)^{2k} \end{eqnarray*}$

24.03.2010, 15:46

MatheNull0520

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gut soweit so gut Augenzwinkern

aber wie geht es denn jetzt weiter smile

noch irgendwelchen hilfreichen tipps ??

vielen dank schonmal

24.03.2010, 16:40

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Zitat:

Original von MatheNull0520
aber wie geht es denn jetzt weiterl

Geht's nicht mal einen kleinen Schritt selbständig? unglücklich

$\begin{eqnarray*} \ldots < \frac{\left( (2k)^{2k} \right) ^{1/k^2}}{5} = \frac{(2k)^{2/k}}{5} = \frac{2^{2/k}\cdot k^{2/k}}{5} \end{eqnarray*}$

Sofern dir $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{k\to\infty} \sqrt[k]{k} = 1 \end{eqnarray*}$ bekannt ist, bist du dann fertig - andernfalls musst du eben auch das noch in einer Nebenrechnung nachweisen. Augenzwinkern

24.03.2010, 17:00

MatheNull0520

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hehe...

naja, ich bin ein matheamateur und froh wenn ich die kleinsten dinge schaffe...du bist profi und für dich erscheint alles einfach Augenzwinkern

aber vielen dank, habe dass jetzt alles verstanden und werde in der klausur damit keine fehler mehr machen

24.03.2010, 22:32

Kühlkiste

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Zitat:

Original von MatheNull0520
und das soll man als normalsterblicher einfach so sehen ^^ ?!?

Lass mal schön die Kirche im Dorf - ist ja schließlich nix besonderes passiert.

Außerdem brauchst Du den Grenzwert, den ich vorher angegeben hatte, gar nicht.

Betrachte einfach:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[n]{(2n)!}}{ 5^n}=\left( \frac{\sqrt[2n]{(2n)!}}{2n} \right)^2 \cdot \frac{4n^2}{5^n}= \left( \sqrt[2n]{ \frac{(2n)!}{(2n)^{2n}}} \right)^2 \cdot \frac{4n^2}{5^n}\leq \frac{4n^2}{5^n} \end{eqnarray*}$

und dann steht die konv. Majorante schon da.

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