Interpolationsproblem

23.10.2006, 17:39	Herd	Auf diesen Beitrag antworten »
Interpolationsproblem Hallo, ich versuche gerade meine allererste Interpolationsaufgabe zu lösen und verstehe wohl das Prinzip nicht so richtig. Es ist $\begin{eqnarray} P: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}: P(x,y) = a_{00} + a_{10}x + a_{01}y + a_{10}x^2 + a_{11}xy + a_{02}y^2, a_{jk} \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ein linearer Raum. Man bestimme alle Punkte-Tripel aus IR^2, für die das Interpolationsproblem P(0,0) = 0 P(0,1) = 0 P(0,2) = 0 P(x1,y1) = 0 P(x2,y2) = 0 P(x3,y3) = 0 nur das Nullpolynom P=0 als Lösung besitzt. Zunächst wollte ich aus den ersten drei Punkten etwas herausholen. Aus P(0,0)=0 folgt $\begin{eqnarray} a_{00} = 0 \end{eqnarray}$ Aus P(0,1)=0 folgt $\begin{eqnarray} a_{01} = -a_{02} \end{eqnarray}$ Aus P(0,2)=0 folgt $\begin{eqnarray} a_{01} = -2a_{02} \end{eqnarray}$ Das wäre ja ein Widerspruch. Könnte mir jemand einen Hinweis geben, wie man hier nun richtig beginnt? Das ganze soll auf ein LGS hinauslaufen. Danke!
23.10.2006, 18:09	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolationsproblem Dann versuchen wir mal ein LGS Ma = 0 aufzustellen. Dazu schreiben wir die Interpolationsbedingungen auf. Erst einmal allgemein eine Zeile der Matrix M $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & y & y² & (x+x²) & xy \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_{00} \\ a_{01}\\ a_{02} \\a_{10} \\ a_{11}\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich eine Frage. Wir haben mit deinen P Angaben also 6 Punkte die interpoliert werden sollen. In der Funktion treten nur 5 Variblen auf. Ist es richtig, dass bei x und x² $\begin{eqnarray} a_{10} \end{eqnarray}$ steht? Gruß tigerbine
23.10.2006, 18:20	Herd	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, entschuldigung. Da habe ich mich verschrieben. Es heißt richtig: $\begin{eqnarray} ...a_{20}x^2... \end{eqnarray}$ - der Rest stimmt. Mein vermeintlicher Widersprucht klärt sich auf, wenn man $\begin{eqnarray} a_{01} = a_{02} = 0 \end{eqnarray}$ bedenkt
23.10.2006, 18:41	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann haben wir als Zeile von M: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & y & y² & x & xy & x² \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und als gesuchten Vektor: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_{00}\\ a_{01} \\ a_{02} \\ a_{10} \\ a_{11} \\ a_{20} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann lautet das LGS: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 0 & 0 & 0 \\1 & y1 & y1² & x1 & x1y1 & x1² \\ 1 & y2 & y2² & x2 & x2y2 & x2² \\1 & y3 & y3² & x3 & x3y3 & x3² \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_{00}\\ a_{01} \\ a_{02} \\ a_{10} \\ a_{11} \\ a_{20} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aus den ersten drei Zeilen ergibt sich dann: $\begin{eqnarray} a_{00} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{01} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{02} = 0 \end{eqnarray}$ Was ja auch stimmig ist, dann die Forderung dass Interpolationproblem nur das Nullpolynom als Lösung besitzt, impliziert ja, dass alle Koeffizieten $\begin{eqnarray} a_{jk} \end{eqnarray}$ = 0 sind. Nun ist es an Dir, die Punkte (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) so in Bezug zu setzen, dass die Matirx M regulär wird. Dann folgt aus Ma = 0 wegen M0 = 0 automschtisch die Behauptung. Ist dir das schon gelungen? Gruß, tigerbine
23.10.2006, 19:39	Herd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich habe die Determinante der 3x3-Matrix rechts unten ausgerechnet und die Punkte (x,y) so bestimmt, daß die Determinante nicht 0 wird. Ist die Idee erstmal richtig oder gibts einen besseren Weg?
23.10.2006, 20:24	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also du willst den Satz/Lemma über die Determinante einer Blockdiagonalmatrix anwenden. Sprich $\begin{eqnarray} det(A) = det \begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ C & A_2 \end{pmatrix} = det(A_{1}) \cdot det(A_{2}) \end{eqnarray}$ Also zeige: $\begin{eqnarray} det(A_{1}) \neq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} det(A_{2}) \neq 0 \end{eqnarray}$ Damit ist die Idee richtig!
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »