Beweis, Analysis 1?

23.10.2006, 17:49

domina

Beweis, Analysis 1?

Also wir haben in der Übung folgende aufgabe:

code:
1: 2:	Es sei für eine beschränkte Menge M (teilmenge von) R: (-M) := {-x : x€M} Zeigen Sie inf(-M)=-supM

Wie Löst man sowas, allgemein sind mir die Beweise in der Analysis vollkommen schleierhaft kennt das jeman eine gute Anleitung?

Tanzen

23.10.2006, 18:17

tigerbine

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RE: Beweis, Analysis 1?
Allgemein sollte man sich ersteinmal klar machen, was die Begriffe in einer Aufgbae bedeuten. Hier z.B.:

Was bedeutet: beschränkte Menge, Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Dazu gibt es sicher eine Definition in der Vorlesung. Darin tauchen dann auch bestimmt Begiffe wie Infimum (inf) und Supremum (Sup) auf. Mache Dir klar, was sie bedeuten.

Bei uns sind die Begriffe z.B. bei den Folgen eingeführt worden.

Beispiel: Betrachte die Folge ( 1/n + 1) für n gegen oo und n>0 aus den Natürlichen Zahlen. Ist die Folge beschränkt? Von wo (oben - unten?)

Gruß,
tigerbine

24.10.2006, 15:31

domina

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http://de.wikipedia.org/wiki/Supremum

Tata ist was allgemeingültiges.

24.10.2006, 15:43

tigerbine

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Was soll mir diese Antwort jetzt sagen? Ich weiß was min/max inf/sup sind.

Euer Text sagt, M ist eine beschränkte Menge. Sie wird dann wohl von oben und unten beschränkt sein. D.h. es gibt ein Inf(M) und ein Sup(M), so dass gilt

$\begin{eqnarray*} Inf(M) \leq x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \leq Sup(M) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$

wie sieht die Sache jetzt für R aus?

29.10.2006, 11:46

tigerbine

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So what, guest?

In ner halben Stunde bin ich weg. Wenn also noch fragen sind, dann jetzt Augenzwinkern

30.10.2006, 09:52

Guest

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was bedeutet eigentlich -X ?

Wenn X = {1, 2, ... , 10} ist -X dann {-1, -2, ... -10} ?

und wenn die Menge X nach unten beschränkt ist, ist -X dann nach oben beschränkt oder seh ich das falsch?

30.10.2006, 09:53

Lazarus

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so siehts wohl aus.

30.10.2006, 11:46

tigerbine

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Das war des Pudels Kern. Viel Erfolg weiterhin,

tigerbine Wink

30.10.2006, 16:15

Guest

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ja moment mal ^^

ich muss das doch jetzt noch mathematisch aufschreiben oder nicht?
Also so ungefähr:

X = {a, b}
-X = {-a, -b}

c heißt obere Schranke von -X, wenn für alle x € -X gilt: c >= x

und wie zeig ich jetzt, dass es die kleinste obere Schranke ist?

30.10.2006, 16:57

tigerbine

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30.10.2006, 19:35

Guest

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ich komm so durcheinander: supremum schranken oben unten infimum maximum minimum Hammer

aber mal probieren:

M ist eine Teilmenge von R und von unten beschränkt:

x < Inf(M) für alle x aus M

<=> x > Sup(-M) für alle x aus M

und wenn man das wieder mit -1 multiplizieren würde käme dann

-x < -Sup(-M) für alle x aus M

raus und das sieht doch dem zweiten Teil den ich beweisen soll (also inf(X) = -Sup(-X) ziemlich ähnlich)

aber am Ende stimmts eh net, ich kenn mich unglücklich

30.10.2006, 19:38

tigerbine

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Wenn M von unten beschränkt ist, muss x > Inf(M) für alle x aus M sein

30.10.2006, 23:33

Guest

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oh ich hab mich verschrieben, ich meinte x < Inf(-M)

30.10.2006, 23:42

tigerbine

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Also, sei die Menge M (Teilmenge von R) von unten beschränkt. So gibt es ein Inf(M) in den rellen Zahlen, so dass gilt:

x > Inf(M) für alle x aus M

Multipliziert man diese Ungleichung mit -1, so erhält man:

-x < -Inf(M) für alle x aus M (*)

Definieren wir uns jetzt die Menge $\begin{eqnarray*} (-M) := \{-x | x\in M\} \end{eqnarray*}$ . Dann bedeut (*) gerade, dass (-M) von oben durch -Inf(M) beschränkt ist. Also gilt:

Sup(-M) = - Inf(M)

31.10.2006, 10:12

Guest

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ja, genau so hab ich das gemeint, ich konnts nur nicht aufschreiben unglücklich

und um den zweiten Teil zu zeigen muss man die letzte Gleichung ja nur noch mit -1 multiplizieren, also

-Sup(-M) = Inf(M)

dann schonmal herzlichen Dank für die große Hilfe smile