Reihenaufgabe (3)

24.03.2010, 17:27

MatheNull0520

Reihenaufgabe (3)

Und es geht in die nächste Runde...wie ich HöMa Klausuren der RWTH liebe ...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \left( \frac{(2k)!}{(4k)! - \sqrt{k}}\right) \end{eqnarray*}$

Habe schon einiges probiert...denke mal, dass das Quotientenkriterium nichts bringt, da wir eine Summe im Nenner haben ...

Danke schonmal für anworten...

mfg

24.03.2010, 17:34

bernd

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reihenaufgabe (3)
Für den Nenner gilt $\begin{eqnarray*} (4k)!-\sqrt{k} \ge \frac{1}{2}\cdot (4k)! \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k)!}{(4k)!} \end{eqnarray*}$ eine Majorante. Indem man nun kürzt und dann den Nenner des gekürzten Bruchs abschätzt, kann man die Konvergenz der Majorante zeigen.

24.03.2010, 17:42

MatheNull0520

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reihenaufgabe (3)

Zitat:

Original von bernd
Für den Nenner gilt $\begin{eqnarray*} (4k)!-\sqrt{k} \ge \frac{1}{2}\cdot (4k)! \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k)!}{(4k)!} \end{eqnarray*}$ eine Majorante. Indem man nun kürzt und dann den Nenner des gekürzten Bruchs abschätzt, kann man die Konvergenz der Majorante zeigen.

ok...entweder stehe ich jetzt total auf dem schlauch oder ich bin wirklich doof ...

1.

1/2 steht doch im nenner...also müsste ich doch wenn überhaupt die 2 ausherhalb der reihe ziehen oder ??? weil 1 / (1/2) = 2 ?!

2.

Wie kürze ich denn Fakültäten miteinander wenn sie nicht gleich sind ?!?

Mfg

24.03.2010, 17:50

bernd

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reihenaufgabe (3)
1. Stimmt, war mein Fehler, der Vorfaktor heißt 2.
2. Man schreibt einfach die Fakultäten als Produkt, also z.B. $\begin{eqnarray*} (2k)!=1\cdot 2\cdot 3 \cdots (2k) \end{eqnarray*}$ , und kürzt dann die gemeinsamen Faktoren.

24.03.2010, 17:53

MatheNull0520

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reihenaufgabe (3)

Zitat:

Original von bernd
2. Man schreibt einfach die Fakultäten als Produkt, also z.B. $\begin{eqnarray*} (2k)!=1\cdot 2\cdot 3 \cdots (2k) \end{eqnarray*}$ , und kürzt dann die gemeinsamen Faktoren.

ok soweit so gut, wenn ich aber alle faktoren von (4k)! aufschreibe ist das denke ich ziemlich viel...

fragen wir mal anders...

wenn ich das kürzen würde, was kommt dann raus ?!? der schritt bis hierhin ist wieder einmal ein guter trick , danke dafür schonmal.

24.03.2010, 17:55

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Fragen wir mal anders: Welche Faktoren hat (2k)!, welche Faktoren hat (4k)!

Welche Faktoren haben sie gemeinsam?

24.03.2010, 17:57

MatheNull0520

Auf diesen Beitrag antworten »

ja alle bis 2k sind gleich...das heißt im zähler steht schonmal die beühmte 1 Augenzwinkern

im nenner...das ist jetzt hier die frage... alle von 2k bis 4k oder nicht ?!? also vllt noch 3k und 4k ?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3n * 4n} \end{eqnarray*}$

mfg

24.03.2010, 18:02

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Zähler die 1 stimmt schonmal, gucken wir uns mal den Nenner an:

$\begin{eqnarray*} (4k)!=\prod\limits_{n=1}^{4k} \end{eqnarray*}$ , die ersten 2k Faktoren fallen weg, also haben wir noch übrig: $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=2k+1}^{4k} n \end{eqnarray*}$ , wir wissen ja nicht was unser "k" ist, also liegen nicht zwangsläufig nur 3k zwischen 2k und 4k.

24.03.2010, 18:04

MatheNull0520

Auf diesen Beitrag antworten »

ja...also ähnlich habe ich das ja vermutet Augenzwinkern

dann sag mir doch jetzt bitte mal, was rauskommt wenn ich (2k)! / (4k)! kürze ?!?!

ich hab es wirklich probiert, aber es will mir einfach nicht gelingen...

mfg

24.03.2010, 18:06

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab dir das schon quasi hingeschrieben, im Zähler steht die 1, was im Nenner übrig bleibt steht oben. Alles wird dir hier auch nicht vorgekaut unglücklich

24.03.2010, 18:16

MatheNull0520

Auf diesen Beitrag antworten »

mir geht es hier wirklich nich ums vorkauen, sondern ums verstehen...

ich habe bis jetzt ja auch alles verstanden, nur ich weiß wirklich nicht, wie ich jetzt das vernünftig aufschreiben kann...

ich hab ja jetzt alles soweit gekürzt, dass ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\prod\limits_{n=2k+1}^{4k} n} \end{eqnarray*}$ habe !

Aber kannst du mir bitte nicht auch noch kurz sagen, was in den klammern stehen sollte ? ich verstehe das einfach nicht ...

also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{...} \end{eqnarray*}$

danke schonmal

24.03.2010, 18:21

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch das richtige schon da stehen.

24.03.2010, 18:25

MatheNull0520

Auf diesen Beitrag antworten »

ja gut...

aber wie kann ich denn das alles jetzt so abschätzen, dass ich die konvergente majorante finde...

da sollte ja etwas in der art von 1 / (k^a) mit a > 1 stehen oder nicht ?!?

Oder kann man sagen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\prod\limits_{n=2k+1}^{4k} n} \end{eqnarray*}$ schon meine konvergente Majorante ist ?!?

mfg

24.03.2010, 18:55

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist offensichtlich (warum?):

$\begin{eqnarray*} k^2 \leq (2k + 1)(2k+2) \cdot \ldots \cdot 4k = \prod_{n=2k+1}^{4k} n \end{eqnarray*}$ .

Beachte übrigens, dass deine Majorante die Reihe(!) über diesem Term ist. Mit dieser Ungleichung (die dir ja klar sein sollte) kannst du die Reihe weiter nach oben abschätzen und die Konvergenz der neuen Majorante sollte dann ja wirklich bekannt sein.

air

24.03.2010, 19:31

MatheNull0520

Auf diesen Beitrag antworten »

klasse !!!

Vielen dank an alle, die sich heute meinen Problemen gewidmet haben !

Morgen kommen bestimmt ein paar neue Augenzwinkern

Mfg und einen schönen abend

Neue Frage »

Antworten »

Reihenaufgabe (3)

Verwandte Themen