Problem mit Newton-Verfahren
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24.03.2010, 17:55 Schüler-x Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit Newton-Verfahren
Meine Frage:
Ich weiß nicht, was mit mir los ist. Vor einiger Zeit fiel mir das Newton-Verfahren wirklich leicht, und ich hatte keine Probleme damit. Aber nun, nach einigen Monaten, habe ich einen Brett vor dem Kopf. Mein Problem ist nämlich so simpel wie absurd: Ich verstehe den ersten Schritt nicht mehr...

Wenn ich z. B. eine Funktion habe: 4x^3 + 2x^2 - 4 = 0 (genau eine Lösung), wie fange ich dann an? Es ist unglaublich, aber ich habe mir auf etlichen Websites den ersten Schritt durchgelesen, verstehe ihn aber nicht mehr.

Was genau muss ich jetzt tun? Es kann doch nicht sein, dass ich solch ein einfaches Verfahren nicht mehr verstehe...

(Nachdem ich das weiß, können wir gerne zusammen eine Aufgabe rechnen!)

Meine Ideen:
folgen nach Erklärung des ersten Schrittes
24.03.2010, 18:43 Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, da bisher keiner geantwortet hab möchte ichs mal mit dir zusammen versuchen^^

Du kennst dich ja aus, also sollten ein paar Schubser reichen und die bekomm ich vllt hin.


Wo "schätzt" du, könnte die Nullstelle liegen?
25.03.2010, 13:14 Schüler-x² Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne den Taschenrechner benutzt zu haben, glaube ich, dass die Nullstelle auf jeden Fall kleiner als 1 ist. Denn wenn ich nun 1 einsetze, kommt 2 heraus (das kann ich gerade noch so im Kopf). Also sagen wir ... 3/4?
25.03.2010, 13:23 Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du eine Formel für den Newton?
Da kannst du dann mit Hilfe des Iterationsverfahrens immer näher drankommen.
Sowohl 1 als auch 0,75 hören sich gut an!
25.03.2010, 13:23 riwe Auf diesen Beitrag antworten »

gute schätzung Freude

25.03.2010, 13:31 Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Pff riwe...darauf will er mit dem Newton-Verfahren kommen!

Du kannst gerne helfen, wie oben gesagt bin ich mir des Verfahrens nicht
100% bewusst...ich hoffte auf Zusammenarbeit mit ihm^^ Da ers ja früher konnte
müssten kleine Schubser reichen!
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25.03.2010, 15:03 Schüler-x² Auf diesen Beitrag antworten »

Moment! Noch weiß ich nicht, ob ich es wirklich verstanden habe.

Ich habe eine schöne Formel gefunden:
x n+1 = x n -

Das müsste heißen, dass der nächste ungefähre Wert sich in diesem Fall so zusammensetzt:
Schätzwert - (Schätzwert in die Funktion eingesetzt / Schätzwert in die erste Ableitung der Funktion eingesetzt)

Schätzwert, weil es eben der erste Schritt ist. Richtig?

Also sagen wir, ich nehme 3/4 als Schätzwert. Dann hätten wir:


Nun müsste ich diese 22/23 an die Stelle platzieren, an der meine 3/4 vorher waren und immer so weiter rechnen. Und wenn irgendwann immer dasselbe rauskommt, höre ich auf, richtig? Denn dann habe ich die beste Näherung gefunden.
25.03.2010, 15:13 Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Yep! So kenn ich es!

Zitat:
Und wenn irgendwann immer dasselbe rauskommt, höre ich auf, richtig?

Ja, wenn die gewünschte Genauigkeit erreicht ist! Augenzwinkern


(Ich bin mal ein Weilchen weg, aber weiter könnte ich ehh nicht helfen, allenfalls
kontrollieren. Also mach mal weiter und wenn Fragen sind frag xD Ich melde mich
dann halt erst in einer Stunde wieder (ca.) )
25.03.2010, 16:33 Schüler-x² Auf diesen Beitrag antworten »

Seltsam... Ich habe nun noch eine Aufgabe gerechnet und komme da nicht weiter.

Es geht diesmal um die Gleichung 2x^3 + x^2 - 2 = 0, also um eine ähnliche. Dort nahm ich 1 als Startwert und kam immer auf Werte zwischen 0,83 und 0,87 (durcheinander). Aber bei x 6 komme ich auf einmal auf 2,9 - und das, ohne einen Fehler gemacht zu haben (dreimal von Anfang an geprüft).

Kann mir jemand weiterhelfen?
25.03.2010, 16:38 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Zur ersten Aufgabe
Zitat:
Original von Schüler-x
Meine Frage:
Wenn ich z. B. eine Funktion habe: 4x^3 + 2x^2 - 4 = 0 (genau eine Lösung), wie fange ich dann an? Es ist unglaublich, aber ich habe mir auf etlichen Websites den ersten Schritt durchgelesen, verstehe ihn aber nicht mehr.


[WS] Eindimensionale Nullstellenprobleme 1 - versch. Verfahren

Newton: Näherung durch Linearisierung.

code: 
1:
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3:
4:
5:
6:
7:
8:
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10:
11:
12:
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15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:

Es wird eine Nullstelle mittels Newton approximiert
Funktion in bisektionf.m anlegen
Ableitung in newtondf.m anlegen
 
Intervall [a,b] eingeben:
a= -1
b= 1
 
Gewünschte Genauigkeit: eps= 10^(-6)
 
Hat die Funktion auf [a_0,b_0] mehrere Nullstellen? (0-ja, 1-nein) 1
Startwert eingeben: x0= 1
 
  x_n+1            x_n           Delta
============================================
  0.875000        1.000000       0.125000 
  0.858374        0.875000       0.019001 
  0.858094        0.858374       0.000326 
  0.858094        0.858094       0.000000 
 
Genauigkeit erreicht


25.03.2010, 16:41 Schüler-x² Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zur ersten Aufgabe
tigerbine:
Nichts für ungut, aber so weit sind wir schon längst. Die erste Aufgabe ist gelöst.

Mein Problem bezieht sich auf die neue Aufgabe, die ich eben gepostet habe. Dort bekomme ich anscheinend keine richtige Lösung heraus, obwohl ich das Verfahren genauso angewandt und später dreimal überprüft habe.
25.03.2010, 16:44 chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm also bei mir kommt für x=1 und x=6 das gleiche Ergebins raus...

Vielleicht liegt es daran, dass du zu schlecht gerundete Werte eingesetzt hast beim Rechnen??

EDIT: Das mit dem Runden ist quatsch, dann würde es gar nicht erst stationär werden...
25.03.2010, 16:46 Schüler-x² Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Werte immer auf fünf Dezimale gerundet, so wie ich es früher gelernt hatte.
25.03.2010, 16:49 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Zahen zum Vergleich.
Zitat:
Original von Schüler-x²
Es geht diesmal um die Gleichung 2x^3 + x^2 - 2 = 0, also um eine ähnliche. Dort nahm ich 1 als Startwert und kam immer auf Werte zwischen 0,83 und 0,87 (durcheinander). Aber bei x 6 komme ich auf einmal auf 2,9 - und das, ohne einen Fehler gemacht zu haben (dreimal von Anfang an geprüft).




code: 
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45:
46:

Es wird eine Nullstelle mittels Newton approximiert
Funktion in bisektionf.m anlegen
Ableitung in newtondf.m anlegen
 
Intervall [a,b] eingeben:
a= -5
b= 5
 
Gewünschte Genauigkeit: eps= 10^(-6)
 
Hat die Funktion auf [a_0,b_0] mehrere Nullstellen? (0-ja, 1-nein) 1
Startwert eingeben: x0= -5
 
  x_n+1            x_n           Delta
============================================
  -3.378571        -5.000000       0.324286 
  -2.281619        -3.378571       0.324679 
  -1.511154        -2.281619       0.337684 
  -0.891434        -1.511154       0.410097 
  -0.013023        -0.891434       0.985391 
  -79.915351        -0.013023       6135.456470 
  -53.332637        -79.915351       0.332636 
  -35.610878        -53.332637       0.332287 
  -23.796401        -35.610878       0.331766 
  -15.920015        -23.796401       0.330991 
  -10.668744        -15.920015       0.329853 
  -7.166820        -10.668744       0.328241 
  -4.829339        -7.166820       0.326153 
  -3.263882        -4.829339       0.324156 
  -2.202947        -3.263882       0.325053 
  -1.453159        -2.202947       0.340357 
  -0.836025        -1.453159       0.424684 
  0.143410        -0.836025       1.171538 
  4.954347        0.143410       33.546751 
  3.263569        4.954347       0.341272 
  2.153702        3.263569       0.340078 
  1.449923        2.153702       0.326776 
  1.050364        1.449923       0.275572 
  0.887420        1.050364       0.155131 
  0.858923        0.887420       0.032112 
  0.858095        0.858923       0.000964 
  0.858094        0.858095       0.000001 
 
Genauigkeit erreicht
>>


code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:

s wird eine Nullstelle mittels Newton approximiert
Funktion in bisektionf.m anlegen
Ableitung in newtondf.m anlegen
 
Intervall [a,b] eingeben:
a= -10
b= 10
 
Gewünschte Genauigkeit: eps= 10^(-6)
 
Hat die Funktion auf [a_0,b_0] mehrere Nullstellen? (0-ja, 1-nein) 1
Startwert eingeben: x0= 6
 
  x_n+1            x_n           Delta
============================================
  3.956140        6.000000       0.340643 
  2.605831        3.956140       0.341320 
  1.731488        2.605831       0.335533 
  1.200973        1.731488       0.306393 
  0.938061        1.200973       0.218916 
  0.863875        0.938061       0.079084 
  0.858128        0.863875       0.006653 
  0.858094        0.858128       0.000039 
  0.858094        0.858094       0.000000 
 
Genauigkeit erreicht
25.03.2010, 16:50 Schüler-x² Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann ja mal auflisten, was ich gemacht habe:

Bei der Funktion 2x^3 + x^2 - 2 = 0 wählte ich den Startwert x 0 = 1.

x 1 = 1 - (1 / 6) = 0,83333

x 2 = 0,83333 - (- 0,14817 / 3,83330) = 0,87199

x 3 = 0,81799 - (0,08643 / 4,30618) = 0,85192

x 4 = 0,85192 - (- 0,03764 / 4,05844) = 0,86112

x 5 = 0,86112 - (0,01862 / 4,17141) = 0,85666

x 6 = 0,85666 - (- 8,78574 / 4,11652) = 2,9...

Wo liegt mein Fehler?
25.03.2010, 16:55 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »





f(1)=2+1-2=1 Freude

f'(1)=6+2=8 unglücklich

Überprüfe deine Ableitung.

code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:

Es wird eine Nullstelle mittels Newton approximiert
Funktion in bisektionf.m anlegen
Ableitung in newtondf.m anlegen
 
Intervall [a,b] eingeben:
a= -5
b= 5
 
Gewünschte Genauigkeit: eps= 10^(-6)
 
Hat die Funktion auf [a_0,b_0] mehrere Nullstellen? (0-ja, 1-nein) 1
Startwert eingeben: x0= 1
 
  x_n+1            x_n           Delta
============================================
  0.875000        1.000000       0.125000 
  0.858374        0.875000       0.019001 
  0.858094        0.858374       0.000326 
  0.858094        0.858094       0.000000 
 
Genauigkeit erreicht
25.03.2010, 16:59 Schüler-x² Auf diesen Beitrag antworten »

Ich Depp habe vergessen, die letzte 2 in der Ableitung zu streichen... Hammer Jetzt weiß, was ich demnächst üben muss.

Danke, jetzt sollte es funktionieren!
25.03.2010, 16:59 chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schüler-x²
x 6 = 0,85666 - (- 8,78574 / 4,11652) = 2,9...

Also da stimmt weder die Berechnung für f noch die für f'. Wie tigerbine schon anmerkte ist zum einen deine Ableitung falsch, zum anderen hast du dich in diesem schritt auch für f verrechnet.

Und was macht der Thread in Hoschulmathe->Numerik???? Das ist Stoff der 11. Klasse...
25.03.2010, 17:21 riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
Pff riwe...darauf will er mit dem Newton-Verfahren kommen!

Du kannst gerne helfen, wie oben gesagt bin ich mir des Verfahrens nicht
100% bewusst...ich hoffte auf Zusammenarbeit mit ihm^^ Da ers ja früher konnte
müssten kleine Schubser reichen!


worüber exaltiert man sich verwirrt
dem steht ja nichts im wege unglücklich
25.03.2010, 19:00 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chrizke
Und was macht der Thread in Hoschulmathe->Numerik???? Das ist Stoff der 11. Klasse...


Das war ich, da wir dort am meisten über das Verfahren sprechen. Anderes Forum in der Schnittmenge. Augenzwinkern
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