Matrix mit hoher Potenz

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Leo20 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix mit hoher Potenz
Guten Abend allerseits!

Gegeben sei:
[attach]13984[/attach]

Zudem weiss man, dass die Matrix über Q diagonalisierbar ist und die Eigenwerte 1 und 2 hat. Man soll nun berechnen, wobei es aber nicht nötig ist, zu diagonalisieren.

Ich habe in einem Buch ein Vorgehen gefunden, das ich auch hier anwenden könnte. Allerdings ist es im Buch mit einer 2x2 Matrix gemacht, was so viel bedeutet, dass ich hier irgendwo Fehler drinn habe bzw. einfach nicht weiss, was ich wie anders machen sollte..

Nun aber zu meiner bisherigen "Lösung":
Hier ist: f(x) = x^{1000}
Sei g(x) = m*x + q

Bedingungen: f(1) = m + q = 1^{1000} = 1
f(2) = 2*m + q = 2^{1000}

--> m=2^{1000}-1
q= -2^{1000}+2

--> A^{1000} = (2^{1000}-1)*A + (2 - 2^{1000})*E_5 = ....
Das Ergebnis, das hier raus kommt, stimmt aber leider nicht mit dem durch Maple ausgerechneten A^{1000} überein...

Deshalb wäre ich sehr dankbar, wenn mir jemand sagen würde, was man wo und wie anders machen muss.
Schönen Abend und gute Nacht!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Was Du da machst kann ich nicht nachvollziehen. Aus welchem Buch hast Du das?
Ansonsten ist der Trick A zu diagonalisieren doch ok. Sei A eine Matrix die diagonalisierbar sei. Dann ist also

, dann gilt

und ganz allgemein



Die Matrix ist sehr leicht zu berechnen. Sprich, du berechnest einmal P und die Inverse von P , dann die tausendste Potenz der Diagonalmatrix und multiplizierst wieder alles.
Leo20 Auf diesen Beitrag antworten »

Also P ist dann eigentlich die Transformationsmatrix von A, oder?
..und D berechnet man dann, wenn man die Transformationsmatrix (und das Inverse) hat..richtig?
Leo20 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm nein..meine Annahmne kann nicht stimmen..
Wie bekommt man denn P? (und dann D?)

Ich habe nun eben, die Transformationsmatrix (eigentlich für die Jordansche Normalform, also: JNF=Q*A*Q^-1) berechnet.
Q ist dabei:

Das ist zwar die Transformationsmatrix, um die JNF zu berechnen, aber die kann ich für unsere Problem hier wohl nicht brauchen, da ich so das D nicht rausfinden kann...

Help please ;-)
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

D ist die Diagonalmatrix auf deren Hauptdiagonalen die Eigenwerte von A stehen. P ist die entsprechende transformations Matrix (also deren Spalten aus Eigenvektoren bestehen und eine Basis bilden). Ich habe natürlich angenommen das

Zitat:
dass die Matrix über Q diagonalisierbar


stimmt. Den selben ablauf kann man aber mit der JNF auch machen, nur muss man etwas mehr überlegen.

p.s.

Wenn Du die Eigenwerte und deren Vielfachheiten kennst, kannst Du die Matrix D direkt angeben.
Leo20 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist
und
Bei D bin ich mir ziemlich sicher, bei P allerdings weniger...
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bei D bin ich mir ziemlich sicher, bei P allerdings weniger...



Das kannst Du doch leicht überprüfen, wenn Du richtig rechnen kannst, dann muss



sein Augenzwinkern .
Leo20 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm.. es stimmt nicht...
Wie sieht P denn bei dir aus?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die Eigenvektoren

(-2; 1; 2; 0; 0)^T

(1; 0; 2; 0; 0)^T

(1; -2; 0; 0; 2)^T

sind richtig. Die Vektoren

(0; 1; 1; 0; 0)^T

(1; 1; 1; 1;-1)^T

sind keine Eigenvektoren. Daher kann es natürlich nicht klappen.
Leo20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, na dann hab ich die falsch berechnet:

zwei zusätzliche, richtige Eigenvektoren wären also:
(0;1;0;0;-1)^T
(0;-1;-1;0;1)^T

Und diese (mit den anderen) kann man nun einfach (egal in welcher Reihenfolge?) in die Matrix P "integrieren"?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und diese (mit den anderen) kann man nun einfach (egal in welcher Reihenfolge?) in die Matrix P "integrieren"?


Die Reihenfolge der Eigenvektoren bestimmt die Reihenfolge der Diagonalelemente. Seien v1,v2,v3 die Eigenvektoren zu 2 und w1,w2 die Eigenvektoren zu 1.

Die Matrix

w1,w2,v1,v2,v3

erzeugt die Diagonalmatrix die Du gepostet hast.

Die Matrix

v1,w1,v2,w2,v3

würde eine Diagonalmatrix erzeugen deren Diagonalelemente sich abwechseln (2,1,2,1,2). Sprich, je nach dem wie Du deine Vektoren wählst musst Du die Diagonalmatrix anpassen.
Leo20 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, das gäbe:



Stimmt das?
Wenn ich nun aber P*D*P^-1 rechne, funktioniert das nicht wirklich (singuläre Matrix)...
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Die Matrix ist übrigens gar nicht diagonalisierbar. Ihre JNF ist . Das heißt die drei von Mazze angegebenen Eigenvektoren sind schon alle Eigenvektoren.
Leo20 Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich es über die JNF mache: Wie erhalte ich dann A^{1000}?
Kann ich dann die hoch 1000-ste JNF nehmen, und diese gleich Q*A^{1000}*Q^-1 setzten, und so A bestimmen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ja wie gesagt, Du kannst es genauso machen. Allerdings musst Du dann für die n-te Potenz der JNF ein wenig mehr überlegen.
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