Integration

25.03.2010, 05:37

gonnabphd

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Integration

Wink

Meine Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} f\in L^1(\mu) \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} \mu(E)<\delta \quad \Rightarrow \quad \int_{E} |f| d\mu < \epsilon \end{eqnarray*}$

Ich finde kein delta, welches nicht von E abhängt.

von f weiss man ja eigentlich nur:

Edit ( $\begin{eqnarray*} |f| d\mu, \quad anstatt \quad |f| \mu \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \int_X |f| d\mu < \infty \end{eqnarray*}$

wobei X der ganze messbare Raum ist.

und

$\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

Hat jemand einen Tipp für mich?

25.03.2010, 23:30

gonnabphd

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Hm...

verwirrt

Brauche immernoch nen Tipp.

Falls die Aufgabenstellung zu ungenau sein sollte o.ä., erläutere ich das gerne noch genauer.

25.03.2010, 23:58

giles

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Naja, du weißt auch noch dass |f| messbar, nichtnegativ und µ-f.ü. endlich ist. smile

smile

Ich würde es erst für Elementarfunktionen auf E zeigen und dann auf |f| erweitern. Also (um mal etwas Notation festzulegen)

$\begin{eqnarray*} u_n:E \to \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$ Elementarfkt., $\begin{eqnarray*} u_n \uparrow |f| \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u_n = \sum^{k_n} _{i=1} \alpha _{i,n}\mathbb{I}_{A_{i,n}} \end{eqnarray*}$ normaler Repräsentant (d.h. $\begin{eqnarray*} \underset{i=1,\ldots,k_n}{\dot{\bigcup}} A_{i,n} = E \end{eqnarray*}$ ) und dann

$\begin{eqnarray*} \int_E |f| d\mu = \sup_{n \in \mathbb{N}} \int u_n d\mu \end{eqnarray*}$

26.03.2010, 00:40

gonnabphd

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Hmm, die Idee hatte ich auch schon...

Naja, neuer Versuch!

Aus
$\begin{eqnarray*} \int_E |f| d\mu = \sup_{n \in \mathbb{N}} \int u_n d\mu \end{eqnarray*}$

folgt, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon_0>0 \end{eqnarray*}$ eine Elementarfunktion $\begin{eqnarray*} u_n \end{eqnarray*}$ gibt, für welche gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_E |f| d\mu < \int_E u_n d\mu + \epsilon_0 \end{eqnarray*}$

26.03.2010, 00:54

gonnabphd

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Sei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der grösste Funktionswert von $\begin{eqnarray*} u_n \end{eqnarray*}$ , welcher $\begin{eqnarray*} < \infty \end{eqnarray*}$ ist.

Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \int_E u_n d\mu \leq \alpha \cdot \mu(E) \end{eqnarray*}$

Also ist:

$\begin{eqnarray*} \int_E |f| d\mu < \int_E u_n d\mu + \epsilon_0 \leq \alpha \cdot \mu(E) + \epsilon_0 \end{eqnarray*}$

Zu vorgegebenem $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ definiere $\begin{eqnarray*} \epsilon_0:= \epsilon/2 \end{eqnarray*}$ und wähle eine Elementarfunktion $\begin{eqnarray*} u_n \end{eqnarray*}$ , für welche obige Ungleichung (im letzen Beitrag) gilt.

Dann wähle $\begin{eqnarray*} \delta := \frac{\epsilon}{2\alpha} \end{eqnarray*}$

Es gilt dann für beliebiges E:

$\begin{eqnarray*} \int_E |f| d\mu < \int_E u_n d\mu + \frac{\epsilon}{2} \leq \alpha \cdot \mu(E) + \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

26.03.2010, 00:58

gonnabphd

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Ich glaube nicht, denn die Elementarfunktion hab' ich ja durch das E festgelegt...

Und wenn ich dort

Zitat:

dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon_0>0 \end{eqnarray*}$ eine Elementarfunktion $\begin{eqnarray*} u_n \end{eqnarray*}$ gibt, für welche gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_E |f| d\mu < \int_E u_n d\mu + \epsilon_0 \end{eqnarray*}$

ersetze durch:

"dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon_0>0 \end{eqnarray*}$ eine Elementarfunktion $\begin{eqnarray*} u_n \end{eqnarray*}$ gibt, für welche gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_X |f| d\mu < \int_X u_n d\mu + \epsilon_0 \end{eqnarray*}$ "

Dann kann ich nicht mehr draus folgern, dass

$\begin{eqnarray*} \int_E |f| d\mu < \int_E u_n d\mu + \epsilon_0 \end{eqnarray*}$

ist?!

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26.03.2010, 01:28

giles

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Hm, das $\begin{eqnarray*} \epsilon_0 \end{eqnarray*}$ kannst du glaub ich nicht wählen, das existiert ja nur für jedes $\begin{eqnarray*} u_n \end{eqnarray*}$
also hatte ich mir das anders gedacht, eher so:

Naja erst mal hast du für alle i und alle n da $\begin{eqnarray*} A_{i,n} \subset E \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu (A_{i,n})\leq \mu (E) < \delta \end{eqnarray*}$

dann

$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb{N}: \int u_n d\mu = \sum^{k_n} _{i=1} \alpha_{i,n} \mu (A_{i,n})< \ldots \end{eqnarray*}$

kannst du weitermachen?

edit: Sorry, eigentlich unnötig, deine Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \int_E u_n d\mu \leq \alpha \cdot \mu(E) \end{eqnarray*}$ genügt und ist weniger Stress smile

smile

Deshalb gilt jetzt ja

$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb{N}: \int_E u_n d\mu \leq \alpha \cdot \mu(E) \leq \varepsilon \end{eqnarray*}$

da gehts weiter. Bist fast fertig. Für den nächsten Schritt brauchst du jetzt die integrierbarkeit von |f|

26.03.2010, 01:56

gonnabphd

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$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb{N}: \int_E u_n d\mu \leq \alpha \cdot \mu(E) \leq \varepsilon \end{eqnarray*}$

Ich denk mal, dass du darauf hinaus willst, dass $\begin{eqnarray*} u_n(x) \nearrow |f(x)| \quad \forall x \in E \end{eqnarray*}$

und deshalb auch

$\begin{eqnarray*} \int_E u_n d\mu \rightarrow \int_E |f| d\mu \end{eqnarray*}$

und deshalb

$\begin{eqnarray*} \int_E |f| d\mu \leq \varepsilon \end{eqnarray*}$

Falls ich das so richtig verstanden habe; Aber ist nicht eigentlich $\begin{eqnarray*} \alpha = \alpha(n) \end{eqnarray*}$ (also von n abhängig)?

26.03.2010, 02:08

giles

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Das ist richtig und genau das hält uns jetzt noch davon ab zu sagen "es gilt für alle n also auch für sup".

Nehmen wir mal eine Liste der größten Werte der jeweiligen $\begin{eqnarray*} u_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left\{\alpha_1 , \alpha _2 , \ldots \right\} \end{eqnarray*}$

jetzt gilt dass |f| µ-f.ü. endlich ist, also muss

$\begin{eqnarray*} \alpha := \sup \left\{ \alpha_1 , \alpha _2 , \ldots \right\} < \infty \end{eqnarray*}$

26.03.2010, 02:17

gonnabphd

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verwirrt

Ich finde das recht seltsam:

Leider bin ich nur mit Riemann-Integralen wirklich vertraut, aber folgendes Beispiel.

$\begin{eqnarray*} g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x):= \frac{1}{\sqrt{|x|}} \end{eqnarray*}$

Dann wäre ja g fast überall $\begin{eqnarray*} < \infty \end{eqnarray*}$ , aber Elementarfunktionen, die gegen g konvergieren, besitzen kein Supremum (bzw. $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ).

Oder wo ist der Fehler in meiner Überlegung?

26.03.2010, 02:54

giles

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Naja $\begin{eqnarray*} g\notin \mathcal{L}^1 \end{eqnarray*}$
Ist ja unbeschränkt... also da wo g den Wert "annimmt" also $\begin{eqnarray*} g(0):=\infty \end{eqnarray*}$ ist es eine Lebesgue-Nullmenge, aber dort wo es unbeschränkt ist nicht.

Das ist ein cleverer Einwand. Ich hab mir gerade erst mal versucht zu überlegen, dass auf einer nicht-µ-Nullmenge unbeschränkte Funktionen nicht integrierbar sind... scheint aber zu später für sowas zu sein verwirrt

verwirrt

Ich gucke morgen noch mal drüber.

Am Rande: Sicher, dass dir keine Sätze die ihr hattet dabei helfen könnten? Ich selbst habe keine gefunden, aber das kann ja bei dir anders sein. Ich frag nur, weil meine Tutorin letztes Semester wenig begeistert von Lösungen dieser Art war, bei denen ich zurück auf die Definition gegangen bin und dann alles durchklamüsert hab, anstatt einfach ein paar der neueren Sätze anzuwenden smile

smile

26.03.2010, 14:24

giles

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Ich hab mir was anderes überlegt. Die Aufgabe hat mich nicht mehr in Ruhe gelassen traurig

traurig

Im Prinzip ist die Aussage ja das gleiche wie
$\begin{eqnarray*} E_n \in \mathcal{A}: E_n \downarrow \end{eqnarray*}$ (Vorsicht, der limes muss nicht messbar sein)

$\begin{eqnarray*} \mu ( E_n ) \overset{n \to \infty}{\longrightarrow}0 \Rightarrow \int_{E_n}|f|d\mu = \int \mathbb{I}_{E_n} |f| d\mu \overset{n\to \infty}{\longrightarrow}0 \end{eqnarray*}$

also definieren wir
$\begin{eqnarray*} f_n := \mathbb{I}_{E_n} |f| \end{eqnarray*}$
alle messbar und in $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}^1 \end{eqnarray*}$ außerdem
$\begin{eqnarray*} f_n \leq |f| : \forall n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

dann bedeutet ja $\begin{eqnarray*} \mu (E_n) \to 0 \end{eqnarray*}$ dass

$\begin{eqnarray*} f_n \to 0 \end{eqnarray*}$ µ-f.ü.

26.03.2010, 17:30

gonnabphd

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Hmm, verhält sich die Aussage

Zitat:

$\begin{eqnarray*} E_n \in \mathcal{A}: E_n \downarrow \end{eqnarray*}$ (Vorsicht, der limes muss nicht messbar sein)
$\begin{eqnarray*} \mu ( E_n ) \overset{n \to \infty}{\longrightarrow}0 \Rightarrow \int_{E_n}|f|d\mu = \int \mathbb{I}_{E_n} |f| d\mu \overset{n\to \infty}{\longrightarrow}0 \end{eqnarray*}$

zu

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f\in L^1(\mu) \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} \mu(E)<\delta \quad \Rightarrow \quad \int_{E} |f| d\mu < \epsilon \end{eqnarray*}$

nicht wie Stetigkeit zu gleichmässiger Stetigkeit bei Funktionen? (Hab das jetzt noch nicht ganz gründlich durchdacht, aber ich hab den Eindruck)

26.03.2010, 17:36

giles

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Hm, das wirst du näher erläutern müssen, denn ich seh das nicht.
Verhält sich eher wie Folgenkriterium und epsilon-delta-Kriterium, wenn man eine Analogie suchen will.

26.03.2010, 18:39

gonnabphd

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Ich meinte im Prinzip, dass der zweite Fall der folgende ist:

$\begin{eqnarray*} \forall \quad \epsilon >0 \quad \exists \quad \delta >0 \quad s.d. \quad \forall \quad E\in \mathcal{A}:<br /> \mu(E)<\delta \quad \Rightarrow \quad \int_{E} |f| d\mu < \epsilon \end{eqnarray*}$

und der erste

$\begin{eqnarray*} \forall \quad \epsilon >0 \quad \forall \quad E\in \mathcal{A} \quad \exists \quad \delta >0 \quad s.d.:<br /> \mu(E)<\delta \quad \Rightarrow \quad \int_{E} |f| d\mu < \epsilon \end{eqnarray*}$

edit: diese letzte Aussage macht irgendwie keinen Sinn, vielleicht überleg' ich mir das besser nochmal, sorry. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Denn man weiss ja nur, dass für eine gegebene Folge $\begin{eqnarray*} E_n \end{eqnarray*}$ mit den von dir geforderten Eigenschaften eine solches delta zu epsilon existiert.

Daraus lässt sich doch aber nicht folgern, dass dieses delta für alle $\begin{eqnarray*} E \in \mathcal{A} \quad mit \quad \mu(E)<\delta \end{eqnarray*}$ ausreicht?

26.03.2010, 18:50

gonnabphd

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Weisst du was? Ich glaube, das funktioniert! Also vergiss' den letzten Beitrag bitte wieder...

Freude

Freude

Danke dir.

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