Komplexe Teilmengen (graphisch darstellen)

25.03.2010, 09:26

orso7

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Komplexe Teilmengen (graphisch darstellen)

also folgende 3 Teilmengen der komplexen zahlen sollen in der komplexen ebene graphisch dagestellt werden
gegeben sind mal

$\begin{eqnarray*} a=3+2i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=1+2i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_{0}=\left\{ z\in \mathbb C: Im \left(\frac{z-a}{b} \right) = 0 \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_{+}=\left\{ z\in \mathbb C: Im \left(\frac{z-a}{b} \right) > 0 \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_{-}=\left\{ z\in \mathbb C: Im \left(\frac{z-a}{b} \right) < 0 \right\} \end{eqnarray*}$

bedeutet das das nur der imaginäranteil =0 sein muss beim 1. ???
oder gilt das für die gesammte gleichung

wie soll ich das angehen??

25.03.2010, 10:53

orso7

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achja wenn für die erste teilmenge die gleichung hernehme

$\begin{eqnarray*} (z-(3-2i)) *\frac{1-2i}{5} = 0 \end{eqnarray*}$

(die begingung der teilmenge einfach umgeformt)

wenn ich das jetzt löse komm ich auf

$\begin{eqnarray*} z=\frac{13+6i}{5} \end{eqnarray*}$

und wenn ich das jetzt wieder einsetze komme ich auf
$\begin{eqnarray*} -10 = 0 \end{eqnarray*}$

und in dem fall stimmt das ja sogar weil -10 keinen imaginären anteil hat

aber dann hätte die teilmenge nur ein einziges element...
bzw. wie mache ich das dann mit dem größer und kleiner

25.03.2010, 21:39

corvus

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-

25.03.2010, 22:06

Lampe16

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@Corvus
Warum bearbeitest Du den Term $\begin{eqnarray*} (z-a)b \end{eqnarray*}$ , wo doch $\begin{eqnarray*} \frac{z-a}{b} \end{eqnarray*}$ gegeben ist?

Vereinfachter Lösungsvorschlag: Den letzten Bruch gleich $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ setzen und die Definitionsgleichung nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auflösen. Jetzt soll $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ nur reelle Zahlen durchlaufen, womit die von Dir erwartete Gerade erkennbar ist.

25.03.2010, 22:20

corvus

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-

25.03.2010, 22:22

Lampe16

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@corvus
Sehr o.k.!

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18.11.2010, 15:13

Taxinsane

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Würd mich auch für die Lösung dieses Problems interessieren, aber irgendwie wurden die entscheidenen Beiträge wegeditiert.
Wie kann man in dem Fall vorgehen um die zahl z zu ermitteln?
Danke schon mal

18.11.2010, 15:36

corvus

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.

$\begin{eqnarray*} a=3+2i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=1+2i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_{0}=\left\{ z\in \mathbb C: Im \left(\frac{z-a}{b} \right) = 0 \right\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Taxinsane
Würd mich auch für die Lösung dieses Problems interessieren
Wie kann man in dem Fall vorgehen um die zahl z zu ermitteln?

@Taxinsane :
z= x+iy
kannst du nun den Imaginärteil von w=(z-a)/b selbst berechnen?
versuchs mal -> ...

und dann wirst du schnell erkennen, dass zB alle Punkte z ,
für die Im(w)=0 ist, auf einer Geraden in C liegen ..
.

18.11.2010, 21:39

Taxinsane

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alles klar, dankeschön smile

smile

19.11.2010, 16:08

Taxinsane

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Is das dann richtig wenn ich sag, dass für im(w)=0 das dann z=a gelten würde oder is das falsch? Dann wäre die Gerade ja die gleich wie die für a=3+2i,
Für die anderen Fälle versteh ich aber nich so ganz, komm da irgendwie das im(z)-2*re(z)<6 sein müssen aber was hilft mir das?

19.11.2010, 20:57

corvus

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.
$\begin{eqnarray*} a=3+2i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=1+2i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_{0}=\left\{ z\in \mathbb C: Im \left(\frac{z-a}{b} \right) = 0 \right\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Taxinsane
Is das dann richtig wenn ich sag, dass für im(w)=0 das dann z=a gelten würde
oder is das falsch?

das ist sehr falsch

du solltest doch w=(z-a)/b berechnen

also:

$\begin{eqnarray*} w=\frac{(x-3) + i\cdot (y-2)}{1+2i} = ? \end{eqnarray*}$

und vom Ergebnis dann den Imaginärteil nehmen ...

also nochmal ->...Im(w)=?

19.11.2010, 21:49

Taxinsane

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Gut ok ich sehs ein, kann nich hinkommen.^^
Also ich mach den Nenner erst mal rational also mit Hilfe der Multiplikation von (1-2i) im Nenner als auch im Zähler dann erhalte ich nach meiner Rechnung einen Im(w)=(-2x+y+4), un gleich null gesetzt kommt die gerade y=2x-4 heraus. Hmm aber was sagt mir das jetzt über z? Oder ist das jetzt wieder falsch verwirrt

verwirrt

So in der Art wie für x=1 wäre y=-2 und z=1-2i oder wie kann ich mir das vorstellen?

19.11.2010, 22:22

corvus

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Zitat:

Original von Taxinsane

dann erhalte ich nach meiner Rechnung einen Im(w)=(-2x+y+4) / 5
un gleich null gesetzt kommt die gerade y=2x-4 heraus. Freude

Freude

Hmm aber was sagt mir das jetzt über z?

das sagt dir, dass die Punkte z=x+iy = (x,y)
alle genau auf der Geraden y=2x-4 in der GaussEbene herumliegen smile

smile

z= x + i*(2x-4)
einen Beispielpunkt auf der Geraden hast du ja genannt z=1-2i

wenn du willst, kannst du
ja noch ein paar Tausend andere, passende Beispiel - z - Punkte finden?

.

19.11.2010, 22:45

Lampe16

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Hallo corvus undTaxinsane,
ich war früher schon mal in diesem Thread. Deshalb liefere ich ohne weitere Erklärungen des Vorgehens das graphische Endergebnis zur Unterstützung Eurer analytischen Arbeit ab.
w und z=b*w+a sind in derselben komplexen Zahlenebene dargestellt. Die 25 Kreuzungspunkte des rechtwinkligen w-Gitters sind auf die 25 z-Einzelpunkte mit entsprechenden Farben abgebildet. Die Gitterpunkte der blauen w-Linie (Im w =0) werden von links nach rechts auf die blauen z-Einzelpunkte von links unten nach rechts oben abgebildet. Rechts der blauen Punktlinie liegt das Gebiet Im w < 0, links davon Im w > 0.

edit
Ich habe die Graphik jetzt noch ergänzt. Man erkennt deutlicher, dass
$\begin{eqnarray*} z=bw+a \end{eqnarray*}$
das (achsparallele) w-Gitter gedreht, gestreckt und verschoben auf das z-Gitter abbildet. Auch die gesuchte (blaue) Gerade
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Im}w=0 \end{eqnarray*}$
ist jetzt besser zu erkennen.
Zwei Punkte sind im w- und im z-Gitter drei- und sechseckig umrahmt, um deren Zuordnung zu verdeutlichen.

19.11.2010, 23:34

corvus

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Zitat:

Original von Lampe16

. Deshalb liefere ich ohne weitere Erklärungen des Vorgehens
das graphische Endergebnis zur Unterstützung Eurer analytischen Arbeit ab.

hi Lampe16, das ist ja lieb gemeint , aber sorry, es ist nicht die Lösung der Aufgabe,
denn es sind nicht nur Gitterpunkte gesucht:
zur Erinnerung:

also folgende 3 Teilmengen der komplexen zahlen sollen in der komplexen ebene
graphisch dagestellt werden
gegeben sind mal

$\begin{eqnarray*} a=3+2i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=1+2i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_{0}=\left\{ z\in \mathbb C: Im \left(\frac{z-a}{b} \right) = 0 \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_{+}=\left\{ z\in \mathbb C: Im \left(\frac{z-a}{b} \right) > 0 \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_{-}=\left\{ z\in \mathbb C: Im \left(\frac{z-a}{b} \right) < 0 \right\} \end{eqnarray*}$

also G_o ist die Menge aller Punkte auf der Geraden y=2x-4
(kannst du eine Gerade im xy-Gauss einzeichnen?)
G_+ und G_- sind dann die beiden Halbebenen neben dieser Geraden
(da kannst du einen Farbstift nehmen und die jeweilige Fläche fein anmalen smile

smile

)
die ganze Halb-Ebene schaffst du ja eh nicht.. aber du
musst noch herausfinden, auf welcher Seite zB G_+ von G_o liegt ..

.............................................. Wink

Wink

20.11.2010, 00:55

Lampe16

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Hi corvus!

Zitat:

Original von corvus
... sorry, es ist nicht die Lösung der Aufgabe,
denn es sind nicht nur Gitterpunkte gesucht:

Mit einer Lösung will ich auch gar nicht in den Thread platzen - nur mit einem Hinweis, der ein bisschen in Richtung konforme Abbildung zeigt.

Zitat:

corvus: (kannst du eine Gerade im xy-Gauss einzeichnen?)

Da sehe ich nicht das Problem, wenn man zwei Punkte hat.

Zitat:

corvus: aber du musst noch herausfinden, auf welcher Seite zB G_+ von G_o liegt ..

Das wollte ich oben mit "Rechts der blauen Punktlinie liegt das Gebiet Im w < 0, links davon Im w > 0." ausdrücken - oder ist das falsch herum?

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