Gruppen

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23.10.2006, 19:05	FlowerPower	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen Hab überhaupt keine Ahnung wie ich folgendes Beweisen soll. Hat jemand links zu diesem Thema im Internet? Mein Prof. setzt das anscheinend einfach vorraus. Gegeben sei eine Menge M die mit der Verknüpfung ° die Gruppe G bildet. Sei P = M x M das kartesische Produkt von M mit sich selbst. Auf der Menge P sei eine weitere Verknüpfung + mit folgender Eigenschaft definiert: (a,b) + (c,d) := (a ° c, b ° d) mit a, b , c , d element M Weisen Sie nach, dass auch P bezüglich + eine Grupe darstellt.
23.10.2006, 19:11	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen Was meinst du mit voraussetzen? Wie weist Du den generell eine Gruppe nach? Indem du die Axiome überprüfst. Mittels der Definition von "+" ist dir eine Verknüpfung gegeben worden.Ferner weißt Du, dass M bzgl. ° eine Gruppe bildet. Also, wie lauten die Gruppenaxiome? Gruß, tigerbine http://de.wikipedia.org/wiki/Gruppentheorie
23.10.2006, 19:29	FlowerPower	Auf diesen Beitrag antworten »
Hatte halt keinen Mathe LK und höre den Begriff Gruppe, Verknüfpung zum ersten mal. Wikipedia hab ich mir schon durchgelesen. 1. P = M x M ist das kartesische Produkt mit sich selbst. Sagt mir nicht viel. Reihe mal Spalte = Spielbrett wie beim Schiffeversenken vielleicht? Jedes Feld hat dann zwei Koordinaten. 2.Beweis einer Gruppe: Die Verknüpfung bildet die zwei Elemente in der selben Menge ab, aus der sie kommen (Abgeschlossenheit). Das heißt wohl das das nach der Verknüpfung entstandene Element auch in der Menge liegen muss in der die beiden ursprünglichen Elemente liegen. Gut aber wie schreib ich das nun hin? Und das war ja erst das erste Axiom.
23.10.2006, 20:02	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich versuch mich mal an einer Übersetzung. Zunächst mal brauchen wir eine Menge, hier M. Die besteht aus Elementen, z.B. sind hier a,b,c,d Elemente von M. Unter einer "inneren" Verknüpfung ° von M, versteht man eine Abbildung: M x M $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ M, (a,b) $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ a ° b Dabei könnte ° z.B. für "+" stehen. Nun zum kartesichen Produkt. Lies diesen Link: http://de.wikipedia.org/wiki/Direktes_Produkt Axiome: Abgeschlossenheit. Hier stellt sich also die Frage: Liegt a°c in M und b°d in M, denn dann liegt (a°c, b°d) in P.
23.10.2006, 20:07	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Assoziativität: Gilt (m + n) + p = m + (n + p) mit m,n,p aus P? m:=(a,b) n:=(c,d) mit a,b,c,d,e,f, aus M p:=(e,f) 1. Übersetzte "+" in die "°" Schreibweise 2. Wende das Wissen, dass G eine Gruppe ist an
23.10.2006, 20:11	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Neutrales Element EP von P. Es muss gelten: m + EP = EP + m = m für alle m aus P. 1. Übersetze "+" in die "°" Schreibweise 2. Wende das Wissen, dass G eine Gruppe mit neutralem Element EG ist an P.S. Üblich ist die Bezeichnung e für ds neutrale Element. Den Buchstaben habe ich aber schon bei p verbraucht ;-)
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23.10.2006, 20:14	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse Elemente: Finde zu jedem m aus P ein $\begin{eqnarray} m^{-1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} mo m^{-1} = m^{-1}o m = EP \end{eqnarray}$ Wieder (1), (2)
24.10.2006, 21:25	FlowerPower	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die Antworten ich arbeite mich gerade nochmal durch. 1. Frage: Wie schreib ich den ersten Satz matematisch hin (Menge M die mit der Verknüpfung ° die Gruppe G bildet). Etwa so: M ° E := G (Gruppe G); E Element M 2. Beweiß der Gruppe: a) Beweis der Abgeschloßenheit a ° c Element M und b ° d Element M da gegeben ist dass ein Element aus M (also z.B a,b,c,d) das wieder mit einem Element aus M mit der Verknüpfung ° eine Gruppe bildet. Daraus folgt: P mit der Verknüpfung + liegt in M. Ist der Beweis der Abgeschloßenheit so richtig? Wie drücke ich das mathematsich besser aus? b) Beweis der Assioziativität [(a,b)+(c,d]+(e,f) = (a,b) + [(c,d)+(e,f)] muss bewiesen werden: = (a°c,b°d) + (e,f) = (a,b) + (c°e,d°f) = a ° c ° e, b ° d ° f = a ° c ° e, b ° d ° f weil a ° c ° e und auch b ° d ° f eine Gruppe sind kann ich die Elemente vertauschen. Damit gilt obige Gleichung. Ist das so korrekt? Sorry, dass ich vielleicht dumm nachfrage aber ich bin mir echt nicht sicher. c) Beweis Linksneutrales Element EP geben: (EP,EP) + (a,b) = (EP,a,EP,b) = (a,b) Da gilt: a ° EP = a; da a bezüglich ° eine Gruppe bildet. Das selbe gilt für b. Passt das so? d) Beweis eines Linksinveres Element (a-1,b-1) + (a,b) = (a-1 °a,b-1°b) = (e,e) Da gilt: e ° a = e; da a bezüglich ° eine Gruppe bildet. Das selbe gilt für b. Noch was: Was ist den der unterschied zwischen einem Links und einem Rechtsneutralen Element?
24.10.2006, 21:37	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Man schreibt (M,°) bilden eine Gruppe. Den Rest muss ich jetzt erstmal lesen. Bekommst aber eine Antwort.
24.10.2006, 21:46	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossenheit Es ist für alle m,n aus P und a,b,c,d aus M m + n = (a,b) + (c,d) = (a°c, b°c) wieder ein Element von P, da aufgrund der Gruppeneigenschaften von (M,°) gilt: $\begin{eqnarray} a°c \in M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b°d \in M \end{eqnarray}$
24.10.2006, 22:37	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Assziativität [(a,b)+(c,d)] + (e,f) = (a°c,b°d) + (e,f) = ((a°c)°e,(b°d)° f )= da a,b,c,d,e,f aus der Gruppe (M,°) sind gilt =(a°(c°e),b°(d°f)) = (a,b) + (c°e,d°f) = (a,b) + [(c,d) + (e,f)]
24.10.2006, 22:43	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Neutrales Element. Sei EG das neutrale Element der Gruppe (M,°), dann gilt für alle m aus P: m = (a,b) = (EG°a,EG°b) = (EG,EG) + (a,b) = EP + m, mit EP:=(EG,EG), also ist EP das neutrale Element von P
24.10.2006, 22:47	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverses Element - o Linksneutral: Für alle a aus M gilt EG ° a = a rechtsneutral: Für alle a auch ; Gilt a ° EG = a Übungsaufgabe: Ist in einer Gruppe das linksneutrale Element auch rechtsneutral? Wie sieht es bei einer Halbgruppe aus?

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