Beweise Mengenlehre

23.10.2006, 19:21	inf1nity	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise Mengenlehre Hallo Leute, ich habe da ein paar Problemchen mit Beweisen. Ich soll beweisen, dass die leere Menge Teilmenge von A ist (A ist eine Menge) und dass A Teilmenge von A ist. Des weiteren finde ich keinen Ansatz die symmetrische differenz von A und B = (A vereinigt B) ohne (A geschnitten B). Wir haben gegeben gehabt als Definition: symmetrische differenz von A und B = (A ohne B) vereinigt mit (B ohne A). und noch Komplement von (A vereinigt B) = Komplement von A geschnitten mit Komplement von B des weiteren Komplement von (A geschnitten B) = Komplement von A vereinigt mit Komplement von B Also ich möchte noch kurz hinzufügen, dass mir das klar ist und ich das alles logisch nachvollziehen kann aber irgendwie mein Mathe Prof meint das müsste man ja irgendwie mathematisch beweisen oder zeigen ... Damit habe ich leider noch einige Probleme Ich hoffe ihr könnt mir helfen. PS: Verzeiht, dass ich kein TeX verwendet habe, aber bis ich mich da reingearbeitet hätte, wäre der Tag um gewesen... Werde dies natürlich mir noch anschauen bzgl. Mengensymbolen Wäre für Hilfe sehr dankbar Gruß Christian
23.10.2006, 20:37	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Am besten immer Venn-Diagramme machen! Eine Menge $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ist ja Teilmenge von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , wenn gilt: $\begin{eqnarray} x\in B\Rightarrow x\in A \end{eqnarray}$ . Das musst du ja nur für die beiden Mengen überprüfen. Zu den anderen Aufgaben: Da hast du zwei Mengen $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ gegeben und sollst zeigen, dass sie gleich sind. Das macht man eigentlich immer, indem man zeigt, dass $\begin{eqnarray} C\subset D \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D\subset C \end{eqnarray}$ gilt! Du musst also zeigen, dass beide Mengen Teilmenge von der jeweils anderen sind. Sei $\begin{eqnarray} C:=(A\cup B)\setminus (A\cap B) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D:=(A\setminus B)\cup (B\setminus A) \end{eqnarray}$ . Ich zeige dir einmal, wie man $\begin{eqnarray} C\subset D \end{eqnarray}$ zeigt und den Rest versuchst du dann einmal selbst. Also, für $\begin{eqnarray} C\subset D \end{eqnarray}$ muss man ja zeigen, dass aus $\begin{eqnarray} x\in C \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ liegt. Sei also $\begin{eqnarray} x\in C \end{eqnarray}$ . Das heißt: $\begin{eqnarray} x\in C\Rightarrow x\in ((A\cup B)\setminus (A\cap B))\Rightarrow (x\in A\cup B)\wedge (x\notin A\cap B) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow (x\in A\vee x\in B)\wedge (\neg(x\in A\wedge x\in B))\Rightarrow (x\in A\vee x\in B)\wedge (x\notin A\vee x\notin B) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow (x\in A\wedge x\notin A)\vee (x\in A\wedge x\notin B)\vee (x\in B\wedge x\notin A)\vee (x\in B\wedge x\notin B) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow (x\in A\wedge x\notin B)\vee (x\in B\wedge x\notin A)\Rightarrow (x\in A\setminus B)\vee (x\in B\setminus A) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x\in ((A\setminus B)\cup (B\setminus A))\Rightarrow x\in D \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
23.10.2006, 20:42	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die leere Menge kannst Du auch so argumentieren: $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ist genau dann Teilmenge von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , wenn gilt: $\begin{eqnarray} B\cup A=A \end{eqnarray}$ . Prüfe nun $\begin{eqnarray} \varnothing\cup A \end{eqnarray}$ . EDIT: Um Jahrhunderte zu spät, aber bis ich dieses «\varnothing» endlich gefunden hatte .
23.10.2006, 20:42	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise Mengenlehre Also du sollst zeigen: (1) $\begin{eqnarray} \emptyset \subseteq A \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} A \subseteq A \end{eqnarray}$ (3) $\begin{eqnarray} A \triangle B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} A \triangle B := (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \end{eqnarray}$ (4) $\begin{eqnarray} \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \end{eqnarray}$ (5) $\begin{eqnarray} \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \end{eqnarray}$ Mengengleichheit zeigst du, indem du beide Inklusionen zeigst. Eine Inklusion zeigst du, indem du zeigst, dass alle Elemente der inklusionskleineren auch in der inklusionsgrößeren Menge enthalten sind. Wenn du also $\begin{eqnarray} A \subseteq B \end{eqnarray}$ zeigen willst, fängst du mit $\begin{eqnarray} x \in A \end{eqnarray}$ an und folgerst daraus dann im Laufe deines Beweises $\begin{eqnarray} x \in B \end{eqnarray}$ . Damit kannst du loslegen. Grüße Abakus PS: mit Zitat siehst du meine Latex-Notation, das lässt sich dann imitieren; ... und Max war schneller

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