Transformationsmatrix Basiswechsel

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Transformationsmatrix Basiswechsel
Gegeben sei eine Matrix einer lineare Abbildung vom R² in den R², dazu zwei Basen B1 und B2 sowie die darstellende Matrix der Abbildung bezüglich der Basis B1.

Nun soll die darstellende Matrix der linearen Abbildung bezüglich der anderen Basis ermittelt werden.

Also gilt (siehe Anhang 1):

bzw.

Nun braucht man ja noch die Transformationsmatrix S, und die ist meiner Meinung nach (siehe Anhang zwei):

, da doch (siehe Anhang 3). Und die Komposition kann ich ja laienhaft mal so ausdrücken dass erst das letzte Element ausgeführt wird, dann das vorletzte bis hin zum Ersten.

Es gilt ja auch (siehe Anhang 4):



Man kann doch anhand des Anhanges Nr. 1 (alle Anhänge stammen aus meinem LinA-Skript) ganz klar nachvollziehen welchen Weg man geht, wenn man eine bekannte Strecke durch eine neue ersetzt.

Jetzt habe ich aber zwei Aufgaben wo diese von mir bisher getätigte Annahme einfach gebrochen wird und die Reihenfolge vertauscht wird. Was gilt nun?

In der Lösung der Aufgabe rechnet man jetzt einfach und das will mir nicht in den Kopf.

Noch zur Erläuterung:
S=Trafo-Matrix für Basiswechsel
L= Lineare Abbildung
L_B=darstellende Matrix der Abbildung bzgl. einer Basis
K_B=Koordinatenabbildung einer Basis

Es wäre sehr nett wenn mir jemand hier weiterhelfen kann!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsmatrix Basiswechsel
Zitat:
Jetzt habe ich aber zwei Aufgaben wo diese von mir bisher getätigte Annahme einfach gebrochen wird und die Reihenfolge vertauscht wird. Was gilt nun?


Wo stehen die?

[Artikel] Basiswechsel
Hilfebedürftiger Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte es erst mal allgemein darstellen und den Thread nicht mit zu vielen Informationen füllen. Ich dachte mir wenn es zu lang ist interessiert es keinen. Also hier eine der beiden Aufgaben.

Aufgabe 1:

Für den Vektorraum sind zwei Basen gegeben durch






Zuerst soll man die darstellende Matrix der Koordinatenabbildung zur 2. Basis bestimmen. Kein Problem, die Basisvektoren sind die Spaltenvektoren der Inversen der gesuchten Matrix, einmal invertiert und die gewünschte Matrix ist da.

Ein Teil der Aufgabenstellung lautet nun:

Bestimmen Sie die darstellende Matrix S der Koordinatentransformation von nach .

Nach meinem Denken ist nun , insbesondere wenn ich die unterste Grafik betrachte.

Die Lösung sagt nun aber: und es heißt explizit noch dass es keine Punkte gibt, wenn die Reihenfolge falsch ist. Und das verstehe ich nicht.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll S leisten?

Vektor bzgl. B1 rein, Vektor bzgl. B2 raus.

Wie geht das?

*Bezug zur "Standardeinheitsbasis", die lebt in . Also muss man invertieren.

*Nun von dort aus zur Basis2, die lebt in . Also


Wie muss man das nun aufschreiben? Es wird ein Vektor von rechts an eine Matrix ran multipliziert. Also steht links, was zuletzt passiert. Vektor v bzgl. B1 rein, dann hat man:



Wie in deiner Lösung gefordert. Kannst du mir folgen?
Hilfebedürftiger Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich kann dir durchaus folgen, den Artikel/Link habe ich auch gelesen.

Was mich jetzt aber sehr irritiert sind die von mir angehängten Grafiken, z.B. die rechte (ich weiß nicht wie es bei den anderen Benutzern aussieht, bei mir sind aber drei Grafiken untereinander und eine rechts daneben. Da ist doch S als Komposition von KB2 und der Inversen von KB1 beschrieben, und das heißt doch eigentlich dass erst KB1_Inverse ausgeführt wird und dann KB2.

Oder beziehe ich mich mal auf das unterste Bild. In anderen Aufgaben galt es z.B. L oder LB1/LB2 zu erhalten. Da bin ich dann immer anschaulich genau den Umweg gegangen (also z.B. ), und wenn ich das für S betrachte dann komme ich doch auf ) und das hat gepasst.

Ich hoffe du verstehst was ich meine. Mir ist das was du schreibst schon klar, aber meine bisherige Sicht der Dinge, die sich beim Erarbeiten der Problematik auch insbesondere auf dieses Schaubild gestützt hat, gerät jetzt ins Wanken :-/
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Bei den ganzen Bildern, weiß ich nicht was du meinst. verwirrt

Meine Erläuterungen stimmen mit [attachmentid=13990] überein. Das geht auch mit [basiswechsel.jpg] d'accord. Und das ist nur ein Ausschnitt aus dem Großen Diagramm.

Zitat:
Da ist doch S als Komposition von KB2 und der Inversen von KB1 beschrieben, und das heißt doch eigentlich dass erst KB1_Inverse ausgeführt wird und dann KB2.


Ja, eben. Und was zuerst kommt, steht rechts.
 
 
Hilfebedürftiger Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, in der Komposition. Wenn ich das jetzt aber multiplikativ betrachte steht es doch links.

Oder kann ich /muss ich so betrachten, dass erst KB^{-1) auf den Vektor anwende und dann KB2 ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
a, in der Komposition. Wenn ich das jetzt aber multiplikativ betrachte steht es doch links.


Nein, auch dann steht es rechts. Das ganze ist hier eine Frage der Rechenregeln mit Matrizen /(Vektoren). Den Basiswechsel scheinst du verstanden zu haben. Augenzwinkern

Zitat:


Oder kann ich /muss ich so betrachten, dass erst KB^{-1) auf den Vektor anwende und dann KB2 ?


Du musst. Augenzwinkern
Hilfebedürftiger Auf diesen Beitrag antworten »

Super, der Beitrag von gestern war Gold wert heute. Heute morgen noch schnell gelesen, jetzt stimmen auch die Aufgaben. Ich habe mir gestern stundenlang den Kopf zerbrochen.

Meine Betrachtung der Komposition ist ja gar nicht verkehrt, allerdings habe ich hier nicht wirklich die Gegebenheiten berücksichtigt. Und wenn man einmal auf dem falschen Dampfer ist..... Hammer

Tanzen Tanzen Tanzen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Schön. Augenzwinkern
Hilfebedürftiger Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Tigerbine,

ich habe übrigens in einer Aufgabe noch eine Variante gefunden, um S bzw. die Inverse von S zu berechnen, die sich mir noch nicht so ganz erschließt. Ich sehe bestimmt den Wald vor lauter Bäumen nicht ,aber ich sehe halt nur Bäume gerade :-)

Gesucht ist die Transformation S von B1 nach B2 und die Inverse von S:





Es sticht ja zumindest eine Ähnlichkeit beider Basen ins Auge. beiden Transformationsmatrizen "herkömmlich" berechnet und komme auf das selbe Ergebnis.

Die Musterlösung macht aber folgendes:

Ich weiß nicht wie man in eine Matrix in Latex einen Trennstrich einfügt, daher denke man sich bitte in der 2x4-Matrix einen Trennstrich zwischen Spalte 2 und 3 und betrachte jeweils zwei 2x2-Matrizen (das Schema kommt mir vom Berechnen von Inversen bekannt vor, allerdings starte ich dort ja mit einer Matrix A und der Einheitsmatrix und mache aus A die Einheitsmatrix, um rechts dann die Inverse zu erhalten.....)



Hier scheint man also plötzlich beide Transformationsmatrizen auf einen Schlag zu erhalten, was bestimmt nicht immer geht. Man hat erst beide Basen in eine Matrix geschrieben die aus den 2x2-Matrizen besteht und dann die linke Seite zur Eineitsmatrix transformiert. Die entsprechenden Umformungen haben rechts dann die Transformationsmatrix S und die identische Inverse ausgespuckt. Wann / warum darf man das hier machen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also, wegen dem hier ersichtlichen, man erhält die Koordinaten der neuen Basisvektoren [bzgl. der Standardbasis] durch "vertauschen" der beiden Komponenten, ist klar, dass gelten wird Das ist i.A. natürlich nicht so.

Was dort gemacht wurde ist ein Algorithmus zur Berechnung der Inversen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A4...en_einer_Matrix

Hier eben mit dem Ziel, dass die eine Matrix in die andere überführt wird. Wie du selbst gesagt hast, macht man auf beiden Seiten der Trennstriche die gleichen Umformungen.
Hilfebedürftiger Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt habe ich noch eine Aufgabe mit einem Alternativweg gefunden ,der vielleicht praktischer ist (oder auch nicht, wo ich aber nicht so ganz erkenne was dahintersteckt).

Gegeben ist die lineare Abbildung durch sowie eine Basis . Berechnen Sie die darstellende Matrix der Abbildung L bezüglich der Basis B.

Gesucht ist also , wobei S hier für die Standardbasis steht. ist die Matrix mit den Basisvektoren, wenn ich diese Invertiere erhalte ich . Und die darstellende Matrix bezüglich der Standardbasis lese ich einfach ab.

Also:

, ,

Die Aufgabe sollte so richtig sein, zumindest stimmt mein Ergebnis.

Aber es gibt ja nicht immer nur einen Weg, und die Musterlösung machte nun folgendes: Die Bildvektoren der Basisvektoren wurden berechnet. Dann hat man die Koordinatenvektoren der Bildvektoren berechnet und diese sind dann die Spaltenvektoren von . Letztendlich musste man dort (die Lösung ist nicht sehr ausführlich) doch auch erst berechnen über und anstatt dem Aufstellen der Abbildungsmatrix bzgl. der Standardbasis hat man halt die Bilder berechnet. Vom Aufwand her sollte es also auf das Gleiche hinauslauen, aber warum klappt das so und bringt mir diese Methode irgendwelche Vorteile ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Viele Wege führen ans Ziel. Wenn wir uns das Schema vor Augen halten, dann kann man das schön programmieren und je nachdem was gegeben ist, das fehlende berechnen. Das ist, grob verglichen so, als würde man LGS immer mit Gauss lösen [sofern lösbar Augenzwinkern ] Manchmal mag einem aber durch konkrete Vorgaben ein anderer Weg einfacher erscheinen.

Wir wissen, in den Spalten der gesuchten Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren von B.

1. Perspektive Standardbasis. Die Vektoren in B haben Koordinaten bzgl. der St.B.. Wie lauten die Bilder?

2. Diese Koordinaten der Bilder muss man nun noch umrechnen in die Koordinaten bzgl. B. Wie lautet also die LK der Basisvektoren B, um einen Bildvektor darzustellen. Das entspricht aber genau dem, was eine Basiswechselmatrix macht.
Hilfebedürftiger Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich habe den Algorithmus auch tatsächlich in meinem Skript gefunden. Da ich "nur" Ingenieursmathematik mache gehe ich mal davon aus dass ich diesen nicht selbst beweisen muss. Ich habe ihn so nachvollziehen können, ich denke mal das reicht. Ich bin nur immer skeptisch wenn ich ein mir noch unbekanntes Lösungsschema finde und überlege mir dann ob mein bekanntes Schema an der Stelle vielleicht nicht zum Ziel führen würde oder viel zu umständlich wäre.

Die Algebra wird meine letzte Matheprüfung sein, ich hoffe das ich all das abrufen kann was ich zu Hause am Schreibtisch eigentlich kann :-)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Einstellung stimmt. Viel Erfolg für die Prüfung. Freude
Hilfebedürftiger Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, vielen Dank.

Eine Mini-Frag hat sich jetzt doch noch aufgetan:

Ich kenne die Koordinatenabbildung bezüglich einer bestimmten, aber noch unbekannten Basis. Die Inverse der Koordinatenabbildung kann ich mir berechnen. Nun ist nach der Basis bezüglich der Koordinatenabbildung gefragt.

Kann ich jetzt allgemeingültig sagen dass ich diese erhalte wenn ich die Standardbasisvektoren (Anzahl natürlich abhängig von der Dimension) in die Inverse Koordinatenabbildung werfe?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hilfebedürftiger
Ja, vielen Dank.

Eine Mini-Frag hat sich jetzt doch noch aufgetan:

Ich kenne die Koordinatenabbildung bezüglich einer bestimmten, aber noch unbekannten Basis. Die Inverse der Koordinatenabbildung kann ich mir berechnen. Nun ist nach der Basis bezüglich der Koordinatenabbildung gefragt.


Wie berechnest du denn die Inverse?
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