Kniffellige Exponentialgleichung? oder Brett vorm Kopf!

13.06.2004, 14:05

Summi

Kniffellige Exponentialgleichung? oder Brett vorm Kopf!

Hallo Mathefreakz,

sitze nun schon seit über einen Tag an folgender Aufgabe und bekomme es einfach nicht hin.
mindestens ein halber Zettelblock ist schon drauf gegangen!

$\begin{align*} lg$3^{\sqrt{4x + 1}} - 2^{4 - \sqrt{4x + 1}}$ - 2 = \frac{1}{4} lg$16$ + \sqrt{x + \frac{1}{4}} lg$4$ \end{align*}$

Meine ersten Schritte wären mittels elemetarer Umformung und Logarithmengesetze die folgenden:

$\begin{align*} lg$3^{\sqrt{4x + 1}} - 2^{4 - \sqrt{4x + 1}}$ - \frac{1}{4} lg$16$ + \sqrt{x + \frac{1}{4}} lg$4$ = 2 \end{align*}$
$\begin{align*} lg$\frac{\(3^{\sqrt{4x + 1}} - 2^{4 - \sqrt{4x+1}}$ 4^{\sqrt{x + \frac{1}{4}}}} {2}\) = 2 \end{align*}$
$\begin{align*} $3^{\sqrt{4x+1}} - 2^{4 - \sqrt{4x+1}}$ 4^{\sqrt{x + \frac{1}{4}}} = 200 \end{align*}$

Dies ist soweit richtig denke ich...
aber ab hier führen all meine Versuche ins Nirvana

Bitte um mithilfe!!!
Besten Dank schon im voraus...

13.06.2004, 15:44

SirJective

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RE: Kniffellige Exponentialgleichung? oder Brett vorm Kopf!

Zitat:

Original von Summi
$\begin{align*} lg$3^{\sqrt{4x + 1}} - 2^{4 - \sqrt{4x + 1}}$ - 2 = \frac{1}{4} lg$16$ + \sqrt{x + \frac{1}{4}} lg$4$ \end{align*}$

Um welchen Logarithmus handelt es sich? Nach deinem letzten Schritt ist es wohl der Zehnerlog.

Bei der ersten Umformung ist ein Vorzeichenfehler.
$\begin{align*} lg$3^{\sqrt{4x + 1}} - 2^{4 - \sqrt{4x + 1}}$ - \frac{1}{4} lg$16$ - \sqrt{x + \frac{1}{4}} lg$4$ = 2 \end{align*}$
$\begin{align*} lg$\frac{1}{2} \(3^{\sqrt{4x + 1}} - 2^{4 - \sqrt{4x+1}}$ 4^{-\sqrt{x + \frac{1}{4}}}\) = 2 \end{align*}$
$\begin{align*} $3^{\sqrt{4x+1}} - 2^{4 - \sqrt{4x+1}}$ 4^{-\sqrt{x +\frac{1}{4}}} = 200 \end{align*}$

Es ist $\begin{align*} 4^{-\sqrt{x +\frac{1}{4}}} = 4^{-\sqrt{(4x +1)}\frac{1}{2}} = 2^{-\sqrt{4x +1}} \end{align*}$ , also haben wir

$\begin{align*} $3^{\sqrt{4x+1}} - 2^{4 - \sqrt{4x+1}}$ 2^{-\sqrt{4x +1}} = 200 \end{align*}$
$\begin{align*} 3^{\sqrt{4x+1}} 2^{-\sqrt{4x +1}} - 2^{4 - \sqrt{4x+1}} 2^{-\sqrt{4x +1}} = 200 \end{align*}$
$\begin{align*} (3/2)^{\sqrt{4x+1}} - 2^{4 - 2\sqrt{4x+1}} = 200 \end{align*}$
$\begin{align*} (3/2)^{\sqrt{4x+1}} - 16\cdot (1/4)^{\sqrt{4x+1}} = 200 \end{align*}$

Weiter komm ich mit Umformungen nicht. Diese Gleichung hat anscheinend nur eine reelle Nullstelle bei x = 42,438..., die ich aber nicht durch einen geschlossenen Ausdruck angeben kann.

Gruss,
SirJective

13.06.2004, 18:11

Summi

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RE: Kniffellige Exponentialgleichung? oder Brett vorm Kopf!
Sorry, habe die Aufgabe mit falschem Vorzeichen abgeschriben ;o)
Meine Folgerechnung sollt daher richtig sein. Die Aufagabe lautet korrekt:

$\begin{align*} lg$3^{\sqrt{4x + 1}} - 2^{4 - \sqrt{4x + 1}}$ - 2 = \frac{1}{4} lg$16$ - \sqrt{x + \frac{1}{4}} lg$4$ \end{align*}$

Meine ersten Schritte wären mittels elemetarer Umformung und Logarithmengesetze die folgenden:

$\begin{align*} lg$3^{\sqrt{4x + 1}} - 2^{4 - \sqrt{4x + 1}}$ - \frac{1}{4} lg$16$ + \sqrt{x + \frac{1}{4}} lg$4$ = 2 \end{align*}$
$\begin{align*} lg$\frac{\(3^{\sqrt{4x + 1}} - 2^{4 - \sqrt{4x+1}}$ 4^{\sqrt{x + \frac{1}{4}}}} {2}\) = 2 \end{align*}$
$\begin{align*} $3^{\sqrt{4x+1}} - 2^{4 - \sqrt{4x+1}}$ 4^{\sqrt{x + \frac{1}{4}}} = 200 \end{align*}$

@SirJektive:
Da läuft es bei uns beiden auf's selbe hinaus traurig

na las uns mal noch ein wenig probieren...
sicherlich gibt es eine triviale Lösung da es auf dem Übungszettel zur Elementarmathematik steht.
Welche Basis Du verwendest sollte meiner Meinung nach egal sein. Ich habe in meinen Umformungen die 10 verwendet weil es diese auf meinem doch eher veralteten Taschenrechner gibt.

13.06.2004, 18:18

Irrlicht

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Schreibe $\begin{align*} 4^{\sqrt{x+\frac{1}{4}}} = 4^{\sqrt{\frac{1}{4}(4x+1)}}=2^{\sqrt{4x+1}} \end{align*}$
Damit vereinfacht sich dein Term extrem.

13.06.2004, 18:42

therisen

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Es müsste $\begin{align*} x=2 \end{align*}$ rauskommen Tanzen

13.06.2004, 19:12

Summi

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Kniff gefunden *danke*
Danke.

Ich habs wirklich nicht geblickt das
$\begin{align*} 4^{\sqrt{x+\frac{1}{4}}} = 2^{\sqrt{4x+1}} \end{align*}$
gilt.
Damit wird es doch wie gefordert auch eine Elementare Aufgabe.

@SirJektive:
Danke für den Kniff und Sorry wegen des Vorzeichenfehler.
Beim Studieren Deines Ansatzes ist es mir dann wie Schuppen von den Haaren gefallen...

@all:
thx

x=2 ist 100% Richtig!
Wer es nicht glaubt der möge die Probe machen verwirrt

13.06.2004, 20:22

SirJective

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Gut dass wir das geklärt haben smile

Bei solchen kompliziert aussehenden Aufgaben gibt es oft irgendwelche Terme, die erst völlig verschieden aussehen, und sich dann doch so vereinfachen lassen, dass man sie "miteinander verrechnen" kann.

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