Summenzeichen

26.03.2010, 11:13

Vani93

Summenzeichen

Meine Frage:
Hallo,

also ich hab folgende Aufgabe:

Für n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} i^{k} \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n i^{k} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also bei dem ersten Summenzeichen würde ich das so machen:
$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{0!(n-0)!} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} i^{0} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{1!(n-1)!} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} i^{1} \end{eqnarray*}$ + ... + $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n!(n-n)!} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} i^{n} \end{eqnarray*}$ = 1 + $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$ i + ... + $\begin{eqnarray*} i^{n} \end{eqnarray*}$
Ist das bis dahin richtig?Und wie fasse ich das noch weiter zusammen?

Beim zweiten Summenzeichen:
$\begin{eqnarray*} i^{0} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} i^{1} \end{eqnarray*}$ + ... + $\begin{eqnarray*} i^{n} \end{eqnarray*}$ = 1 + i + ... + $\begin{eqnarray*} i^{n} \end{eqnarray*}$
Weiß auch hier nicht,wie ich es besser zusammenfassen soll! unglücklich

26.03.2010, 11:24

hut

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summenzeichen
Hallo,

sieht so weit ganz richtig aus.

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$ kannst du aber noch kürzen.

Zusammenfassen lässt sich das nicht mehr; ist es nicht der Sinn des Summenzeichens, einen langen Term kurz zu fassen? Augenzwinkern

26.03.2010, 13:10

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Vani93
Für n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} i^{k} \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n i^{k} \end{eqnarray*}$

Was soll gelten??? So geschrieben sind das doch nur Terme! unglücklich

Sollst du diese Summen vereinfachen?

In dem Fall denke bei der ersten Summe an den binomischen Satz, bei der zweiten Summe an geometrische Folgen bzw. Reihen.

26.03.2010, 17:28

Vani93

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summenzeichen
Ja, die Terme sollen vereinfacht werden.

Meinst du bei dem ersten Summenzeichen:

...= 1 + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ i + ... + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} i^{n-1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} i^{n} \end{eqnarray*}$

Beim Binomischen Satz ist das Ergebnis ja dann: $\begin{eqnarray*} (a + b) ^ {n} \end{eqnarray*}$ wie mache ich das dann hier? $\begin{eqnarray*} (1 + i)^{n} \end{eqnarray*}$

Und beim 2.:

... = 1 + i + $\begin{eqnarray*} i ^ {2} \end{eqnarray*}$ + ... + $\begin{eqnarray*} i ^ {n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{i^{n + 1}- 1}{i - 1} \end{eqnarray*}$ ?

26.03.2010, 19:21

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summenzeichen

Zitat:

Original von Vani93
$\begin{eqnarray*} (1 + i)^{n} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Vani93
$\begin{eqnarray*} \frac{i^{n + 1}- 1}{i - 1} \end{eqnarray*}$ ?

Auch richtig - allerdings sollte man das noch vereinfachen. Augenzwinkern

30.03.2010, 18:26

Vani93

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summenzeichen
Könntest du mir einen Tipp geben wegen Vereinfachen? Ich bin mir bei sowas immer ziemlich unsicher.